Grenzwert gegen pi/2

Question

Berechne den Grenzwert der Funktion gegen pi/2.

tan(x)/(x-π/2)³, lim x->π/2

Lösungsansatz:

(1/cos(x))/3(x-pi/2)² = (1/2cos(x)*(-sin(x)))/6(x-pi/2) → Issue x/0

Nach der Regel von L'hospital darf ich ja den Zäher und Nenner getrennt ableiten, jedoch habe ich nach mehrmaligem Ableiten der Funktion immer noch den Fehler x/0.

Wie behebe ich das?

Answer 1

Aloha :)$$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\tan(x)}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^3}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)}{\cos(x)\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^3}\;\to\;-\infty$$Der Zähler wird $1$, der Nenner wird $0$. Wenn man sich dem Wert $\pi/2$ von links nähert, ist der Nenner $<0$, wenn man sich von rechts nähert, ist der Nenner ebenfalls $<0$. Daher kann man zumindest sagen, dass die Funktion bestimmt gegen $-\infty$ divergiert.

Korrigiert nach einem Hinweis von georgborn. Danke nochmal :)

Comments

Halloa Tschaka,

Mein Plotter meint die Funktion sähe
so aus

Grenzwert links / rechts beide Male minus unendlich.

Text erkannt:

$z$

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Ja, tut sie auch... Ich Schussel habe übersehen, dass auch die $\cos$-Funktion ihr Vorzeichen wechselt... Es ist noch zu früh am Tag ;)

Ich korrigiere meine Antwort direkt.

Vielen lieben Dank für den Hinweis! ;)

Answer 2

Der Zähler geht gegen ∞ und der Kehrwert des Nenners ebenfalls.

lim x->π/2 von tan(x)/(x-π/2)³ existiert nicht.

Answer 3

tan(x)/(x-π/2)³, lim x->π/2
-∞ / 0 = -∞