Zentraler Grenzwertsatz -> Wahrscheinlichkeit berechnen

Question

ich habe in der Suchfunktion gesehen, dass bereits eine ähnliche Aufgabe eingestellt wurde, komme jedoch trotzdem nicht auf den Lösungsweg.

Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Aufgabenstellung:

Das Portfolio eines Versicherungsunternehmens besteht aktuell aus 1500 Lebensversicherungsverträgen. Pro Vertrag sind im Todesfall des Versicherten 100 000 Euro an den Begünstigten auszuzahlen. Es werde angenommen, dass die Sterbewahrscheinlichkeit einer versicherten Person im kommenden Jahr p=0.06 betrage.
Bestimmen Sie unter Verwendung des Zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit, dass der Gesamtbetrag, den das Versicherungsunternehmen im kommenden Jahr auszahlen muss, weniger als 9 002 000 Euro beträgt. (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an!)

Mein Ansatz:

μ= 1500*100.000*0,06

σ=100.000*\( \sqrt{1500*0,06*(1-0,06)} \)

Z=\( \frac{9.002.000 - 9.000.000}{919782,58} \) =0,021744

1-φ(0,021744)= 0,492 ≈ 49,2%

Dieses Ergebnis ist aber falsch. Wo liegt mein Fehler?

Vielen Dank

MatheJoe

Answer 1

Aloha :)

$$\mu=n\cdot p=1500\cdot100\,000\cdot0,06=9\,000\,000$$$$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{\mu\cdot0,94}=2908,6079$$$$P(X<9\,002\,000)=\phi\left(\frac{9\,002\,000-\mu}{\sigma}\right)=\phi(0,687614)\approx0,754152=75,41\%$$Du hast die Standardabweichung falsch berechnet.

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Vielen Dank! :)