Aloha :)
Wir bestimmen zunächst die Geradengleichung, entlang der sich das U-Boot bewegt:
$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}20\\30\\-20\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}30-20\\50-30\\-40+20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\30\\-20\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}10\\20\\-20\end{pmatrix}$$
1) Die Einheit der Vektor-Komponenten ist Meter, die Einheit von \(t\) ist Minuten. In einer Minute bewegt sich das Boot genau die Länge eines Richtungsvektors weiter. Die Geschwindigkeit ist daher:$$v=\frac{1}{1\,\mathrm {min}}\left\|\begin{pmatrix}10\,\mathrm m\\20\,\mathrm m\\-20\,\mathrm m\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{10^2+20^2+(-20)^2}\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{ min}}=30\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{ min}}$$
2) Die \(z\)-Koordinate bei Position \(B\) ist \(z_B=-40\). Die Sinkgeschwindigkeit in \(z\)-Richtung lesen wir aus dem Richtungsvektor der Geraden zu \(v_z=-20\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{min}}\) ab. Die Tiefe \(z=-140\,\mathrm m\) ist also erreicht nach$$t=\frac{-140\mathrm m-(-40\,\mathrm m)}{-20\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{min}}}=\frac{-100}{-20}\,\mathrm{min}=5\,\mathrm{min}$$
3) Nun ändert das Boot bei einer Tiefe von \(-140\,\mathrm m\) seine Richtung und hält seine Tiefe bei. Der Winkel für die Kursänderung ist daher:
$$\varphi=\arccos\left(\frac{\begin{pmatrix}10\\20\\-20\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\20\\0\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}10\\20\\-20\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}10\\20\\0\end{pmatrix}\right\|}\right)=\arccos\left(\frac{500}{\sqrt{900}\sqrt{500}}\right)$$$$\phantom{\varphi}=\arccos\left(\frac{\sqrt5}{3}\right)\approx41,81^o$$
