Restklassen beweisen oder widerlegen

Question

Aufgabe:

a) Sei \( m \in \mathbb{N} \) und \( a, b, c, d \in \mathbb{Z} . \) Dann gilt:
\( a \equiv b \bmod m \) und \( c \equiv d \bmod m \Rightarrow a+c \equiv b+2 d \bmod m \)

b) Sei \( m \in \mathbb{N} \) und \( a, b, c, d \in \mathbb{Z} . \) Dann gilt:
\( a \equiv b \bmod m \) und \( c \equiv d \bmod m \Rightarrow a+3 c \equiv b+3 d \bmod m \)

Hallo, ich habe eine Frage bzgl. der Aufgabe. Wie Beweise oder widerlege ich die beiden Aussagen.

Answer 1

a) ist falsch ; denn

2 ≡ 5 mod 3  ( weil 3 | (5-2) )   und  1 ≡ 4 mod 3  ( weil 3 | (4-1) )

aber 3 ≡ 13 mod 3  ist falsch, weil  ( weil 3 kein Teiler von  13-2 ) .

b) stimmt, denn (b+3d) - (a+3c) = (b-a) + 3*(d-c)

und beide Summanden sind durch m teilbar.