Welche Abbildungen sind linear?

Question

Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe!

VR sei der Vektorraum aller Funktionen von R nach R. Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

1) \( F_{1}: V_{\mathbb{R}} \rightarrow V_{\mathbb{R}} \) mit
$$ F_{1}(f)(x):=f\left(x^{2}\right) \quad \forall x \in \mathbb{R}, \forall f \in V_{\mathbb{R}} $$
2) \( F_{2}: V_{\mathbb{R}} \rightarrow V_{\mathbb{R}} \) mit
$$ F_{2}(f)(x):=x^{2} f(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}, \forall f \in V_{\mathbb{R}} $$
3) \( F_{3}: V_{\mathbb{R}} \rightarrow V_{\mathbb{R}} \) mit
$$ F_{3}(f)(x):=(f(x))^{2} \quad \forall x \in \mathbb{R}, \forall f \in V_{\mathbb{R}} $$

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Welche folgende Abbildung ist linear?

Stichworte: lineare-abbildung

Hallo, bei dieser Aufgabe fehlen mir die Begründungen. Linear oder nicht ist klar, aber ich kann es leider nicht richtig begründen.

!

Es bezeichne \( V_{\mathbb{R}} \) den Vektorraum aller Funktionen von \( \mathbb{R} \) nach \( \mathbb{R} \). Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Begründe deine Antworten.
1) \( F_{1}: V_{\mathbb{R}} \rightarrow V_{\mathbb{R}} \) mit
$$ F_{1}(f)(x):=f\left(x^{2}\right) \quad \forall x \in \mathbb{R}, \forall f \in V_{\mathbb{R}} $$
2) \( F_{2}: V_{\mathbb{R}} \rightarrow V_{\mathbb{R}} \) mit
$$ F_{2}(f)(x):=x^{2} f(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}, \forall f \in V_{\mathbb{R}} $$
3) \( F_{3}: V_{\mathbb{R}} \rightarrow V_{\mathbb{R}} \) mit
$$ F_{3}(f)(x):=(f(x))^{2} \quad \forall x \in \mathbb{R}, \forall f \in V_{\mathbb{R}} $$

Answer 1

Hallo,

\( F(f) \) ist linear, wenn \( F(af + g) = a F(f) + F(g) \) ist.

Für \( F_1 \) ist \( F_1(af + g) = a f(x^2) + g(x^2) = a F_1(f) + F_1(g) \). Daher ist \( F_1 \) linear.

Auch \( F_2 \) ist linear, wie man auf diese Weise nachrechnet. \( F_3 \) ist leider nicht linear.

Grüße

Mister

Comments

ok aber warum wird a nur auf f und nicht auf g angewendet?

sollte es nicht heißen a*F1(f+g) = ... = F1(a*(f+g))

---

Wenn du das gut begründest, lasse ich mich überzeugen.

Answer 2

Bei 1. wäre zu prüfen

a)  F1( f+g) = F1(f) + F1(g) .

Gleichheit zweier Funktionen von R nach R wird

überprüft, ob für alle x die Funktionswerte gleich sind.

Also los:   F1( f+g)(x) Def. von F1

              =  (f+g)(x^2)  Def. von +  für Funktionen

               = f(x^2 )+g(x^2).

Jetzt schauen, ob bei  (F1(f) + F1(g)) (x) das Gleiche

rauskommt.   (F1(f) + F1(g)) (x)  Def. von + für Funktionen

                 = F1(f)(x) + F1(g) (x)  Def. von F1

                 =  f(x^2 )+g(x^2).  Bingo !

So ähnlich Homogenität prüfen.