Zeigen Sie, dass folgende Abbildungen linear sind:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass folgende Abbildungen linear sind:
(a) Sei Pn der Vektorraum der Polynome vom Grad n.
D : P_n → P_n, p(x) ↦ Dp(x) := p′(x)
(b) Für μ ∈ ℝ sei M : R_n → R_n, v ↦ Mv := μv
(c) S : ℝⁿ → ℝⁿ, v = (v₁,...,v_n)^⊤ ↦ Sv := (0,v₁,...,v_n−1)^⊤

Problem:

Wie geht man hier voran?

Answer 1

Genauso, wie man immer vorgeht, wenn man Linearität zeigen soll. Man zeige die beiden Eigenschaften Additivität und Homogenität:

Seien \(p\) und \(q\) zwei Polynome und \(r(x)=p(x)+q(x)\).Wie sieht dann \(Dr(x)\) aus? Zeige, dass es dann das gleiche ist wie \(Dp(x)+Dq(x)\). Verwende dafür die Summendarstellung \(p(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\). Ähnlich zeigt man das für \(\alpha p(x)\) mit einem Faktor \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Die anderen Abbildung funktionieren genauso. Wende einfach die Abbildungsvorschrift auf die Summe bzw. die Multiplikation mit einem Skalar an.