Aufgabe: (Lineare Abbildungen)
(a) Entscheiden Sie für die nachfolgenden Abbildungen jeweils, ob diese linear sind oder nicht. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Es handelt sich dabei stets um \( \mathbb{R} \)-Vektorräume.
i) \( f_{1}: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}, p \mapsto p(2) \)
ii) \( f_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3},(x, y) \mapsto(x-y, 1-x+y, x+y) \)
iii) \( f_{3}: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{R}),(a, b, c, d) \mapsto a x^{2}-b x^{3}+c+d \)
iv) \( f_{4}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{C},(x, y) \mapsto x-\mathrm{i} y \)
(b) Begründen Sie, weshalb es genau eine lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gibt mit
\(f(1,1,-1)=(1,2), \quad f(1,-1,1)=(2,1), \quad f(0,0,1)=(-1,0)\)
und bestimmen Sie ihre Abbildungsvorschrift.
