Polynomdivision, wenn keine Nullstellen geraten werden können

Question

Liebe Lounge,

hilft die Polynomdivision bei der Bestimmung der Nullstellen, auch wenn es nicht möglich ist, die Nullstellen einer Funktion zu erraten?

Weil die Nullstelle z.B. irrational ist oder zwar eine rationale Zahl ist, welche man aber auch nicht einfach errät?

Falls nein, dann geht man mit einem Näherungsverfahren vor?

Was würde dann z.B. passieren, wenn man trotzdem eine Polynomdivision durchführt? Also, wenn der Dividend kein Vielfaches vom Divisor wäre?

Answer 1

Besprecht das mit eurem Lehrer. Ich sage meinen Schülern. Wenn ihr eine kubische Gleichung habt, dann könnt ihr erstmal bei Taschenrechner die Nullstellen bestimmen.

Bekommt ihr eine rationale heraus, dann nehmt die von mir aus als "gut geraten".

Bekommt ihr dort irrationale heraus die man nicht raten kann, dann macht z.b. eine Untersuchung auf Hoch und Tiefpunkte um z.B. zu sehen in welchen Intervallen überhaupt Nullstellen entstehen können.

Dann kann man mit einem Näherungsverfahren in diesen Intervallen die Nullstellen leicht bestimmen.

Aber wie gesagt sollte man das vorher mit dem Lehrer absprechen.

Kennzeichen das nur eine Näherung gesucht ist steht meist auch direkt im Aufgabentext drin. Bestimmen sie näherungsweise die Nullstellen. Das kann ein hinweis sein, dass die Nullstellen auch nur Näherungsweise zu berechnen sind.

Comments

Angenommen es gilt f(x)/(x-1)=h(x).  So etwas geht doch immer oder? Zur Not enthält h(x) einen Restterm.

Dann gilt doch auch: f(x)=h(x)*(x-1)

Also f(x)=0 → h(x)*(x-1)=0.

Aber dann wäre ja 1 eine Nullstelle, obwohl bei der Polynpmdivision ein Rest herauskam.

Wo ist der Denkfehler?

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9 : 4 = 2 Rest 1

9 = 2 * 4 + 1

Fällt dir etwas auf? Der Rest wird nicht mit 4 multipliziert oder?

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Ja, aber ich könnte es ja so schreiben:

9:4= 2 + 1:4.

Und genauso sieht ja das Restpolynom bei der Polynomdivision aus.

Meine Idee wäre eher die folgende:

f(x):g(x)  und f(x_n)=0 und g(x_m)=0 mit x_n ungleich x_m.

Daraus folgt doch, dass g(x) kein Teiler von f(x) ist?

Folglich liefert die Polynomdivison:

f(x):g(x)=h(x)+r(x)/g(x). (r(x) ist das Restpolynom)

Wenn man jetzt f(x)=(h(x)+r(x)/g(x))*g(x)=0 berechnen will, dann gilt zunächst der Satz vom Nullprodukt. Also hat f eine Nullstelle dort, wo g(x_m)=0 gilt. An dieser Stelle x_m ist nun allerdings eine Definitionslücke entstanden, da man das Restglied ja durch g(x) teilt.

Demnach ist x_m kein Wert des Definitionsbereichs mehr und somit auch keine Nullstelle von f.

Ergibt das Sinn? Wäre dankbar über deine Anmerkungen.

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Wo liegt folgender Denkfehler?

(x - 2) = 0

Die Nullstelle dürfte klar sein?

(x - 2) : (x - 1) = ((x - 1) - 1) : (x - 1) = 1 - 1/(x - 1)

(x - 2) = (1 - 1/(x - 1))·(x - 1) = 0

Also hat x - 2 eine Nullstelle bei 1 oder nicht? Wo liegt also der Denkfehler. Schau mal genau hin.

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Hmm. Aber zeige ich nicht oben einen ähnlichen Widerspruch?

Ich finde in deiner Aufzeichnung eigentlich nur den Fehler. dass (1 - 1/(x - 1))·(x - 1)

an der Stelle x=1 nicht definiert ist? Also kann es auch keine Nullstelle sein?

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Hmm. Aber zeige ich nicht oben einen ähnlichen Widerspruch?

Du hast ja gesagt das das oben wie du sagst geht. Ich wollte dir nur den Widerspruch aufzeigen warum es nicht geht.

Und richtig. Der Ausdruck ist für x = 1 nicht definiert. Und daher kann x = 1 auch keine Nullstelle sein.

D.h. du hast als Grenzwert für x = 1 einen unbestimmten Ausruck. Weil ein Faktor gegen 0 geht der andere allerdings gegen plus oder minus unendlich strebt.

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Ok. Das ist jetzt klar, ich bin jetzt gerade aber total verwirrt:

Wenn ich 2:(4-2) ausrechnen will, muss man ja aufpassen. Das ist ja was anderes als 2:4-2:2 , da die Division nicht linksdistributiv ist.

Aber eigentlich müsste ich doch 2:(4-2) auch mit Hilfe der Polynomdivision ausrechnen können?

Ich habe das probiert, mein Ergebnis hat die Form 0,5+0,25+0,125+ ...

Dann habe ich aufgehört. komme ich irgendwann auf 1? Ich meine es ist klar, dass 2:(4-2)=1 gilt. Aber dann müsste ja auch mit Polynomdivision 1 rauskommen?

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Bei einer Polynomdivision hörst du auf wenn du die ganze Zahl nicht mehr durch ein Polynom mit x teilen kannst.

2 : (x - 2)

würdest du also mit einer Polynomdivision erst gar nicht teilen. Was soll deine Rechnung also werden?

a / (b + c) lässt man im allgemeinen Fall genau so stehen und macht hier keine Polynomdivision.

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Okay.

Kann man also zusammenfassend sagen:

Ein Polynom f(x) lässt sich genau dann ohne Rest durch ein Polynom g(x) teilen, wenn g(x) ausschließlich Nullstellen hat, welche f(x) ebenfalls besitzt und zudem gilt, dass der Grad von f größer gleich der Grad von g ?

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Ich bin kein Theoretiker. Aber müsste man dann nach deiner Regel nicht auch folgende Polynome teilen können.

(x^2 - 1) / (x^2 - 2·x + 1)

Ich überlasse solche Formulierungen daher lieber Leuten die davon sicher mehr verstehen als ich.

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Man müsste vermutlich noch hinzufügen: Für alle x_n für die gilt g(x_n)=0=f(x_n) muss gelten, dass die Vielfachheit der Nullstelle bei g kleiner gleich der Vielfachheit der Nullstelle bei f ist.

Im Prinzip sind doch die Linearfaktoren nichts anderes als die Primfaktoren einer natürlichen Zahl.

Demnach teilt ein Polynom ein anderes ohne Rest, wenn jeder Linearfaktor (wir betrachten nun jeden einzeln), der in g(x) vorkommt auch in f(x) vorkommt.

Sobald g(x) einen Linearfaktor besitzt, der sich nicht durch einen gleichen Lineafaktor in f(x) kürzen lässt, wird die Division einen Rest ergeben.

Beispiel: \( \frac{3*(x-2)*x*(x-4)}{(x-2)*x} \)=3x-12,

wohingegen (3*(x-2)*x*(x-4))/((x-2)² *x) =3x-12 / (x-2), was nur mit Rest aufzulösen ist, da 3x-12 kein Vielfaches von x-2 darstellt.

Was hältst du davon?

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Wenn du von Linearfaktoren sprichst musstest du dann auch komplexe Linearfaktoren einschließen eben so wie komplexe Nullstellen.

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Okay. Aber wenn man sich jetzt mal auf den reellen Zahlbereich Bereich beschränkt, müsste es so passen?

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Okay. Aber wenn man sich jetzt mal auf den reellen Zahlbereich Bereich beschränkt, müsste es so passen?

Nein.

(x^3 + x^2 + x + 1) / (x^2 + 1)
(x^3 + x^2 + x - 1) / (x^2 + 1)

Welche Polynomdivison hat einen Rest und welche keinen.

So rein an den reellen Nullstellen festmachen kann man das nicht weil der Nenner ja gar keine reellen Nullstennen hat.

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Da hast du Recht. Prinzipiell kann man sich ja einen beliebigen Nenner ausdenken. Diesen mit beliebigen Polynomen multiplizieren und schon hat man einen Zähler, welcher Restfrei vom Nenner geteilt wird.

Demnach müsste man anders argumentieren.

1. Wenn  g(x) in i reelle Linearfaktoren zerfällt, welcher jeweils eine reelle Nullstelle besitzt, die ebenfalls jewEils Nullstelle von f(x) ist und deren Vielfachheitder bei g(x) jeweils kleiner gleich der bei f(x) ist, dann teilt g(x) f(x) restfrei.

2. Insbesondere gilt, dass die Division durch einen reellen Linearfaktor h(x) vom Grad 1, mit h(x)=f(x)=0 ein restfreies Ergebnis garantiert.

Answer 2

Eine ganzrationale Funktion 3.Grades (kubische Funktion) hat immer eine Nullstelle.

kein Ingenieur rechnet sowas heute noch in Handarbeit.

Kauf dir privat einen Graphikrechner (GTR,Casio),wie ich einen habe.

1) Funktion eingeben

2) Taste EXE drücken und 2 Minuten später siehst du den Kurvenverlauf

eventuell die x-Achse und y-Achse definieren

xmin,xmax,ymin,ymax

Das macht der Rechner auch selber,wenn die entsprechnede Funktionstaste gedrückt wird.

Bei schweren Aufgabenzuerst eine Nullstelle angenähert durch probieren ermitteln und dann ein Näherungsformel von Newton (Tangentenverfahren) oder Regula falsi (Sehnenverfahren) anwenden

Hier Infos,vergrößern und/oder herunterladen