Mathe Abi 2012 Übung: Koordinatengleichung Ebene, Gerade, Dreieck, Rhombus

Question

Aufgabe:

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2012 Länder Berin und Brandenburg
Aufgabe 2.2: Rhombus
In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Ebene
\( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{3} \\ {-3} \\ {8}\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-2} \\ {2}\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-5} \\ {8}\end{array}\right) \quad ; r, s \in I R \)
gegeben.

a) Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene \( E \) an und bestimmen Sie die Koordinaten ihrer Achsenschnittpunkte.

b) Ermitteln Sie die Lagebeziehung der Geraden \( g: \bar{x}=\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {5} \\ {0}\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) t \in I R \) zu der Ebene \( E \)
Ermitteln Sie die Lagebeziehung der Ebene \( F: x+y-0,5 z=4 \) zur Ebene \( E . \) Bestimmen Sie gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E und F.

c) Zeigen Sie, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt und berechnen Sie die Größe des Winkels \( A C B \). Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punktes \( Q, \) der das Dreieck zu einem Rhombus (Raute) ergänzt.

d) In den Rhombus soll ein möglichst großer Kreis einbeschrieben werden. Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes an. Ermitteln Sie den Radius des Kreises.

Answer 1

Zu Aufgabe a, hierzu gibt es das Programm für Ebenengleichungen: 

Ergebnisse in der Übersicht:

Punkte: A(3|-3|8) B(4|-5|10) C(4|-8|16)

Koordinatenform: E: -6·x + (-6)·y + (-3)·z = -24

Parameterform: E: (x|y|z) = (3|-3|8) + s·(1|-2|2) + t·(1|-5|8)

Normalenform: E: [(x|y|z) - (3|-3|8)] o (-6|-6|-3) = 0

Spurpunkte (Achsenschnittpunkte): S_x(4|0|0) S_y(0|4|0) S_z(0|0|8)

Aufgabe b: 

Der Geoknecht 3D verrät dir, dass die Gerade auf der Ebene verläuft.

Ebene F - Koordinatenform umgewandelt in Parameterform: 
Parameterform: E: (x|y|z) = (0|0|-8) + s·(1|0|2) + t·(0|1|2) 

Gezeichnet mit Geoknecht 3D: Man sieht, beide schneiden sich entlang der Gerade.

Aufgabe c und d gebe ich weiter.