Grenzwertsatz der rationalen Potenz

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Für eine auf x ∈ ℝ konvergente Folge a: ℕ → ℝ⁺ und q ∈ ℚ⁺ konvergiert auch die Folge a^q : n → (a(n))^q, und zwar auf x^q.

Des Weiteren haben wir einen zusätzlichen Hinweis erhalten:

Schreiben Sie q = k/l für k, l ∈ ℤ und behandeln Sie dann
den schwierigen Teil 1/l gesondert:

Zeigen Sie Beschränktheit von a^1/l, zeigen Sie, dass jeder Häufungspunkt x von a^1/l die Gleichung x^l = lim(a) erfüllt und schließen Sie dann Eindeutigkeit.

 
Problem/Ansatz:

Ich weiß hier wirklich nicht weiter, für Lösungsansätze wäre ich sehr dankbar.