Ebenen im Raum - Parameterform klasse 5J

Question

Aufgabe:

Prüfen Sie, od die beiden Geraden g1 und g2 sich schneiden. Geben Sie, falls möglich, eine Parametergleichung der Ebene an, die eindeutig durch die Geraden g1 und g2 festgelegt wird

1) g1: x=(3/0/7) +t(2/5/1), g2: x=(7/10/9) + t(1/0/1)

2) g1: x=(2/0/2) + t(1/1/1), g2: x=(0/-2/0) + t(1/2/3)

3) g1: x=(1/2/5) + t(3/4/0), g2: x=(2/3/1) + t(3/4/5)

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahung, wie ich es lösen soll. Kann mir jemad bitte helfen?

Answer 1

1) Komponentengleichungen aufstellen.

3+2t=7+s

0+5t=10+0

7+t=9+s

aus zweien s und t bestimmen. Wenn auch die dritte von s und t erfüllt wird, schneiden sich die Geraden. In Aufgabe 1 ist in allen drei Komponentengleichungen s=0 und t=2.

Ebenengleichung: Zu einer Geradengleichung wird das s-fache des anderen Richtungsvektors addiert.

x=(3/0/7) +t(2/5/1)+ s(1/0/1)

Comments

Und wie kommst du auf 2) und 3)?

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Genau so. Wieder die Komponentengleichungen aufstellen. Aus zweien s und t bestimmen. Wenn auch die dritte von s und t erfüllt wird, schneiden sich die Geraden.

Bei 2) schneiden sich die Geraden nicht.

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Ich kann nicht zu der richtigen Lösung kommen. Kannst du es bitte berechnen?

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Komponentengleichungen

(1) 2+t=0+s

(2) 0+t=-2+2s

(3) 2+t=0+3s

_______________

(3)-(1) 0=2s also s=0 in (1) eingesetzt ergibt t=-2.

s=0 und t=-2 in (2) eingesetzt: -2=-2.

Ich hatte mich verrechnet. Auch diese Geraden schneiden sich.

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was ist t und s in 3? Ich kann es nicht lösen? 

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Die dritte Komponentengleichung ergibt s=4/5. Dies in die zweite eingesetzt ergibt t=21/20. Diese beiden Zahlen erfüllen nicht die erste Gleichung. Hier gibt es keinen Schnittpunkt.

Answer 2

1) beide Geraden gleichsetzen und prüfen,ob sie sich schneiden

2) schneiden sich die Geraden in einem Punkt A(ax/ay/az) dann nimmt mna diesen für den Stützpunkt (Stützvektor) für die Ebene

3) vom Punkt A(ax/ay/az) gehen dann die die Richtungsvektoren der Ebene aus

es gilt u(ux/uy/uz)=m1(m1x/m1y/m1z) und v(vx/vy/vz)=m2(m2x/m2y/m2z)

m1 und m2 sind die Richtungsvektroen der beiden Geraden

g1=g2

(3/0/7)+t*(2/5/1)=(7/10/9)+s*(1/01)

x-Richtung: 2*t-1*s=7-3=4

y-Richtung: 5*t-s*0=10-0=10 → t=10/5=2

z-Richtung: 1*t-1*s=9-7=2

mit z-R.: 1*2-1*s=2

s=1*2-2)=0

Probe mit x-R.: 2*2-1*0=4  stimmt

beide Geraden schneiden sich im Punkt A(7/10/9)    aus g2  x=(7/10/9)+0*(1/0/1)

Vektrorielle Parametergelichung der Ebene E: x=a+r*u+s*v

E: x=(7/10/9)+r*(2/51)+s*(1/0/1)

Die anderen Aufgaben gehen genau so

Hinweis:Wenn sich die beiden Geraden nicht schneiden,dann ist das lineare Gleichungssystem (LGS) nicht lösbar

x-Richtung: ....

y-Richtung: ....

z-Richtung: ...   ergibt die Parameter r=.. und s=...