Ebenen im Raum - Parameterform

Question

Aufgabe:

"Die Ebene E ist durch die Punkte A, B und C festgelegt. Geben Sie zwei verschiedene Parametergleichungen von E an.

a) A(0|0|0) B(1|0|3) C(3|1|2)

Problem/Ansatz:

Also die erste Gleichung zu bilden fällt mir nicht schwer. Ich hätte jetzt zum Beispiel:

E: x= r*(1/0/3) + s*(3/1/2) da der Ortsvektor 0 ist. Hier hab ich also einfach die Vektoren AB und AC als Spannvektoren genommen.

Meine Frage ist, wie ich nun weitere Parametergleichungen aufstellen kann. für die Hilfe!

Gruß Mia :)

Answer 1

2. Lösung: Verdopple den ersten Richtungsvektor.

3. Lös: "     "                       zweiten

4. Lösung: setze r=1 und s= 0. Berechne den neuen Ebenenpunkt. Nimm ihn als Aufpunkt.

Comments

Habe ich das richtig verstanden: Ich nehme den ersten Richtungsvektor [hier also r*(1/0/3) ] und schreibe das Ergebnis quasi als neue Ebenengleichung?

Also: E:x= r*(2/0/6) + s*(3/1/2)

Und dann nehme ich für eine dritte ebenengleichung r=1 und s=0 und den berechneten Vektor als Stützvektor?

Also: E:x= (1/0/3)+ ...

was nehme ich hier als Spannvektoren?

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g

Habe ich das richtig verstanden: Ich nehme den ersten Richtungsvektor [hier also r*(1/0/3) ] und schreibe das Ergebnis quasi als neue Ebenengleichung?

Also: E:x= r*(2/0/6) + s*(3/1/2)

Genau!

was nehme ich hier als Spannvektoren?

die alten Spannvektoren. An der Richtung ändert sich nichts.

Answer 2

\( \vec{BC} \) =\( \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} \) ist ein alternativer Richtungsvektor. Außerdem sind \( \vec{OB} \) oder \( \vec{OC} \) alternative Ortsvektoren.

Comments

Kann ich nicht quasi immer einen der Punkte als Ortsvektor nehmen?

1) OA + r* AB + s* AC

2) OB + r* BA + s* BC

3) OC + r* CA + s* CB

stimmt das so? :(

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Ja, das stimmt so. Jeder Punkt der Ebene kann zu einem Ortsvektor gemacht werden. Jeder Vektor \( \vec{RS} \) mit R und S in der Ebene ist als Richtungsvektor geeignet.

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Vielen vielen Dank! Hat mir sehr weitergeholfen :)))

Answer 3

Die Ebene E ist durch die Punkte A, B und C festgelegt. Geben Sie zwei verschiedene Parametergleichungen von E an.

a) A(0|0|0) B(1|0|3) C(3|1|2)

AB = B - A = B = [1, 0, 3]

AC = C - A = C = [3, 1, 2]

Man kann jetzt z.B. jeden Punkt als Ortsvektor/Stützvektor nehmen. Das gibt bereits 3 Parametergleichungen ohne das man überhaupt die Richtungsvektoren anfasst.

1. Parametergleichung

E: X = [0, 0, 0] + r * [1, 0, 3] + s * [3, 1, 2]

2. Parametergleichung

E: X = [1, 0, 3] + r * [1, 0, 3] + s * [3, 1, 2]

3. Parametergleichung

E: X = [3, 1, 2] + r * [1, 0, 3] + s * [3, 1, 2]

Comments

Vielen Dank!! :D

Gruß Mia