Begrunden Sie, dass ¨ ≡ eine Aquivalenzrelation auf ¨ B und Bestimmen Sie die Aquivalenzklassen auf ¨ B bezuglich ¨ ≡

Question

Sei A eine nicht-leere Menge und B eine Menge von Aussagen, die von x ∈ A abhängen.
Fur zwei Aussagen p(x), q(x) ∈ B setzen wir: p(x) ≡ q(x) sei wahr genau dann, wenn fur ¨
alle x ∈ A gilt: p(x) ⇔ q(x).
a) Begrunden Sie, dass ≡ eine Aquivalenzrelation auf B ist.
b) Bestimmen Sie in folgendem Beispiel die Aquivalenzklassen auf B bezuglich ≡:
A := R und B := {
(2x = 5), (3x + 1 = 7), (x^
2 = 4),
(2(x + 1) = 7), ((x − 2)^2 = −4(x − 2))}

könnten Sie bitte die Frage lösen und bisschen erklären

ich wäre Dankbar

Answer 1

Man muss nachweisen, dass die Relation reflexiv,symmetrisch und transitiv ist.

reflexiv⇔: zu zeigen: p(x) ≡ p(x)

Bew: sei x∈Aund es gelte p(x), dann p(x)⇔p(x)

⇒p(x)≡ p(x)

sym:wenn p(x)≡ q(x)   dann p(x)⇔q(x) Dann q(x)⇔p(x), dann q(x))≡ p(x)

trans: p(x)≡ q(x)und  q(x)≡ r(x)dann

p(x)⇔ q(x)und  q(x)⇔ r(x)dann

p(x)⇔ r(x) dann

p(x) ≡ r(x)

b) ist ein Zahlenbeispiel. Vereinfache die Aussagen zunächst:(2x=5) ⇔(x=2,5) usw. Dann sieht man auch die äquivalenten Aussagen und damit die Äquivalenzklassen.