Äqualenzklassen zählen

Question

 Sei n ∈ N. Unter der Primteilermenge Prim(n) verstehen wir die Menge aller Primzahlen,
die Teiler sind von n. Beispielsweise ist Prim(120) = {2, 3, 5}. Mit deren Hilfe definieren
wir eine Aquivalenzrelation auf N:
n ∼ m :⇔ Prim(n) = Prim(m)
(Dass es sich hierbei um eine Aquivalenzrelation handelt, folgt direkt aus Aufgabe 3a und ¨
muss hier nicht bewiesen werden.)
Zählen Sie die Elemente der Aquivalenzklassen [1], [3], [20] und [25] bez uglich der Relation ¨
∼ auf. Falls es sich um unendlich viele Elemente handelt, notieren Sie mindestens 7
verschiedene typische Elemente, bevor Sie mit ”
. . .“ abkurzen.

könnten Sie bitte die Frage lösen und bisschen erklären

ich wäre Dankbar

Answer 1

[1]  Prim(1)=∅, und das gilt nur für 1, also besteht die ganze Klasse nur aus der 1

[1]= {1}

 [3]   Prim(3) = {3}. Zu der Klasse gehören alle, die nur die 3 als Primfaktor haben,

das sind genau die Potenzen von 3, also [3] = {3^n | n∈ℕ } .

 [20]  Prim(20) = {2;5} , also alle ´, die nur 2 und 5 je mindestens 1 mal als Primfaktor haben.

= { 10; 20; 40; 50; 80; 100; 160; 250 ; … }

 [25]   Prim(25) = {5} , also hier alle Potenzen von 5.