Anzahl von Blumen in einem runden Beet. Gitterpunkte innerhalb Kreis zählen

Question

Ein Gärtner möchte ein neues Beet anlegen.

Das entsprechende Beet, welches die Form eines Kreises hat, besitzt er schon.
Nun braucht er noch die Anzahl der Blumen.

Diese werden wie folgt angepflanzt:

1. Genau in der Mitte befindet sich die erste Blume.
2. Alle weiteren Blumen werden in 5 cm Abständen horizontal, als auch vertikal angepflanzt.
3. Blumen können NICHT auf dem Rand angebracht werden.

Beispiel: Hätte das Beet (Kreis) nur einen Durchmesser von 20 cm, so würde er 9 Blumen benötigen.

Wie viele Blumen braucht der Gärtner für ein Beet mit einem Durchmesser von 50 m?

Comments

Das mit dem normieren wie anonym vorgeschlagen hat hört sich gut an.

x² + y² < 500²

Eine Abschätzung über die Fläche bekommt man über

A = pi*500^2 = 785398

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Eventuell lassen sich die Pflanzen dann wie folgt berechnen

4·∑(CEILING(√(500^2 - x^2)), x, 1, 499) + 1 = 785321

Jemand eine andere Idee

Answer 1

Man kann die Angaben der Aufgabe zunächst normieren, also Durchmesser und Pflanzenabstand durch 5 cm teilen. Das Problem ist dann gleichbeutend mit der Suche nach der Anzahl der Gitterpunkte (Punkte mit ganzzahligen Koordinaten) innerhalb eines Kreises um den Ursprung mit dem Radius 1000. Das sind genau die Lösungen der diophantischen Ungleichung x^2 + y^2 < 1000^2. Dafür gibt es wohl keine geschlossene Formel, wohl aber Abschätzungen. Einen Eindruck gewinnst Du vielleicht hier:

http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/PIXXL/Worksheet/ws.pdf

Ein Pflanzenabstand von 5 cm ist allerdings recht wenig. Stimmen die Daten?

Comments

Ich korrigiere mich: 1000 ist nicht der Radius, sondern der Durchmesser,
demzufolge muss die Ungleichung auch x^2 + y^2 < 500^2 lauten.

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Die vorgegebene Daten stimmen - das Endergebnis soll sich im sechsstelligen Bereich bewegen - und das Ergebnis soll auch durch eine Formel ganz klar berechenbar sein. Mehr weiß ich leider auch nicht.

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Na ja, grob gerechnet würde ich mal etwa ⌊pi*500^2⌋ = 785398 erwarten.

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Bei d = 5000 cm und Abstand 5 cm sollte das Ergebnis 785.321 lauten.

Allerdings habe ich keine Formel austüfteln können sondern ein kleines
EDV-Programm geschrieben.

  mfg Georg

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Das Ergebnis 785.321 scheint nicht zu stimmen. Kann das daran liegen, das hier bei d=5000 eventuell nicht beachtet wurde, dass die Blumen NICHT auf dem Rand angepflanzt werden dürfen.

Muß dann in dem Programm 4995 vorgegeben werden?

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Das klingt gut. Komme aufs gleiche Ergebnis über eine kleine Berechnungsformel.

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Korrektur 785321 ist vollkommen richtig - ich habe mich vertan und bitte um Nachsicht.

Vielen Dank für die Hilfe - klasse, ich bin begeistert.

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Hi, mehr zu diesen Zahlen wirst Du unter

http://oeis.org/A051132

finden. Werden die Punkte auf der Kreislinie mitgezählt, ergibt sich die ähnliche, aber wesentlich umfangreicher kommentierte Folge

http://oeis.org/A000328

mit etlichen Referenzen und Formeln, unter anderem auch ein Verweis auf den MathWorld-Artikel

http://mathworld.wolfram.com/GausssCircleProblem.html,

so dass das Problem nun auch einen Namen hat. Im Übrigen bestätigt mein Computer die Zahl 785321.