Aloha :)
Die Behauptung lautet:$$s_n=\sum\limits_{k=1}^n(4k-1)=2n^2+n\quad\text{für}\quad n\in\mathbb N$$Wir zeigen zuerst, dass die Behauptung für \(n=1\) gilt.
Verankerung \(n=1\):$$s_n=s_1=\sum\limits_{k=1}^1(4k-1)=4\cdot1-1=3=2\cdot1^2+1=2n^2+n\quad\checkmark$$Wir wissen nun, dass die Behauptung für ein \(n\) gilt und folgern daraus, dass sie auch für \((n+1)\) gilt.
Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$s_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}(4k-1)=\sum\limits_{k=1}^n(4k-1)+4(n+1)-1=\sum\limits_{k=1}^n(4k-1)+4n+3$$Weil wir wissen, dass die Behauptung für \(n\) gilt, können wir die Summe durch \((2n^2+n)\) ersetzen:$$s_{n+1}=(2n^2+n)+4n+3=(2n^2+4n+2)+(n+1)$$$$\phantom{s_{n+1}}=2(n+1)^2+(n+1)\quad\checkmark$$Wir erhalten für \(n+1\) exakt dieselbe Summenformel wir für \(n\), nur dass \(n\) duch \(n+1\) ersetzt wurde. Damit ist gezeigt, dass ausgehend von der Verankerung bei \(n=1\) die Behauptung auch für alle nachfolgenden \(n\in\mathbb N\) gilt.
