Bestimmung einer Funktion durch Trassierungsproblem

Question

Aufgabe: Wie bestimme ich eine ganzrationale Funktion, die durch einen Punkt ohne knick-, sprung-, und krümmungsruckfrei verläuft?

Gegeben ist eine klassische Trassierungsaufgabe, sprich zu sehen sind 2 Graphen, die in ihrer Mitte eine Lücke aufweisen und bei dem der Punkt A(2/1) zu finden ist. Des Weiteren sind die Funktionen f(x)=e^-x+1;x€R; [-2;0] und g(x)=0,5x;x€R; [4;6] gegeben.

Problem/Ansatz: Zunächst einmal weiß ich, dass ich die 6 Bedingungen aufstellen muss und anschließend ein Gleichungssystem aufstellen muss, um die ganzrationale Funktion herauszubekommen, jedoch bin ich mir nicht ganz schlüssig ob es wirklich nur 6 Bedingungen sind oder doch mehr.

Comments

Muss die "Überbrückungsfunktion" eine ganzrationale Funktion auf dem Intervall [0 .. 4] sein?

Muss sie unbedingt auch durch den Punkt  A(2 | 1) verlaufen ?

(Insgesamt käme man so auf 7 Bedingungen und damit auf eine Funktion 6. Grades - da habe ich gewisse Zweifel, ob das gut gehen kann ...)

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Da steht zwar, dass es sich um eine ganzrationale Funktion handelt(die durch den Punkt A(2/1) verläuft), aber von einem Intervall ist hier nicht die Rede, weshalb ich auch nicht weiß wie man auf die 7 Bedingung kommt.

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Der Sinn eines Trassierungsproblems ist doch gerade, eine stetige und glatte Verbindung zu bestimmen. Hier liegt eine ,,Lücke'' im Intervall [0,4] vor, wo sich noch dazwischen ein Punkt A befindet, der mit in diese Verbindung eingebettet werden soll.

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmung einer Funktion durch Trassierungsproblem2

Stichworte: funktion

Moin könntet ihr bitte die vorherige (selbe) Frage löschen, aus privaten Gründen? Ansonsten bin ich mega dankbar für eure Mühe!

Gegeben ist eine klassische Trassierungsaufgabe, sprich zu sehen sind 2 Graphen, die in ihrer Mitte eine Lücke aufweisen und bei dem der Punkt A(2/1) zu finden ist. Des Weiteren sind die Funktionen f(x)=e^-x+1;x€R; [-2;0] und g(x)=0,5x;x€R; [4;6] gegeben.

Problem/Ansatz: Zunächst einmal weiß ich, dass ich die 6 Bedingungen aufstellen muss und anschließend ein Gleichungssystem aufstellen muss, um die ganzrationale Funktion herauszubekommen, jedoch bin ich mir nicht ganz schlüssig ob es wirklich nur 6 Bedingungen sind oder doch mehr.

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Spätere Version ? :

Titel: Bestimmung einer Funktion durch Trassierungsproblem3

Stichworte: funktion

Extrem wichtig, bitte original Frage löschen, bin auch bereit die 25€ zu zahlen

Gegeben ist eine klassische Trassierungsaufgabe, sprich zu sehen sind 2 Graphen, die in ihrer Mitte eine Lücke aufweisen und bei dem der Punkt A(2/1) zu finden ist. Des Weiteren sind die Funktionen f(x)=e^-x+1;x€R; [-2;0] und g(x)=0,5x;x€R; [4;6] gegeben.

Problem/Ansatz: Zunächst einmal weiß ich, dass ich die 6 Bedingungen aufstellen muss und anschließend ein Gleichungssystem aufstellen muss, um die ganzrationale Funktion herauszubekommen, jedoch bin ich mir nicht ganz schlüssig ob es wirklich nur 6 Bedingungen sind oder doch mehr.

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Ist das im Kommentar nun die vollständige Frage oder gibt es schon wieder eine neue Version davon?

Answer 1

Also wenn dein Punkt A mit einbezogen werden soll, dann hast du folgende Angaben zu berücksichtigen:

\(f(0), f'(0), g(4), g'(4)\) und Punkt A. Das sind also 5 Informationen, wofür du lediglich nur ein Polynom 4. Grades brauchst:

$$ p(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^3+c\cdot x^2+d\cdot x+k\\p'(x)=4\cdot a\cdot x^3+3\cdot b\cdot x^2+2\cdot c \cdot x+d $$

Damit stellst du dein LGS auf:

1.) \(p(0)=a\cdot 0^4+b\cdot 0^3+c\cdot 0^2+d\cdot 0+k=f(0)=2\)

2.) \(p(4)=a\cdot 4^4+b\cdot 4^3+c\cdot 4^2+d\cdot 4+k=g(4)=2\)

3.) \(p(2)=a\cdot 2^4+b\cdot 2^3+c\cdot 2^2+d\cdot 2+k=1\) Punkt A

4.) \(p'(0)=4\cdot a\cdot 0^3+3\cdot b\cdot 0^2+2\cdot c \cdot 0+d=f'(0)=-1 \)

5.) \(p'(4)=4\cdot a\cdot 4^3+3\cdot b\cdot 4^2+2\cdot c \cdot 4+d=g'(4)=0.5 \)

Vergleiche:

$$ a=-\frac{1}{64},\quad b=\frac{3}{32},\quad c=\frac{1}{8},\quad d=-1,\quad k=2 $$

Comments

Damit die Verbindung an den Randstellen x=0 und x=4 auch "krümmungsruckfrei" wird, müssen an diesen beiden Stellen auch die zweiten Ableitungen stetig sein !

So kommt man auf insgesamt 7 Bedingungen und eben (wie ich schon sagte) auf eine Funktion 6. Grades. Ich habe die Rechnung auch gemacht und fand für die Koeffizienten beispielsweise:  a = 5/1024 , b = -31/512 , ....... , f = -1 , g = 2

Die Lösung sieht graphisch auch ganz gut aus (ohne Überschwingungen, die ich wegen des hohen Grades befürchtet hatte). Die Aufgabe ist so nett gestellt, dass es mit der polynomialen Füll-Funktion doch ganz gut geht.

Link betr. "krümmungsruckfrei" :

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Krümmungsruckfrei ist nur eine Sonderanforderung an deine Funktion, die begünstigt, dass du an deinen Punkten, Wendestellen hast. Das ändert aber nichts an meiner Lösung. Diese ist auch ruckfrei, aber beinhaltet nicht im die Eigenschaft, Wendepunkte bei x=0 und x=4 zu haben. Und das muss es auch nicht, denn solange an einer Stelle x die Näherungsfunktion mit deiner Ausgangsfunktion sowie die erste Ableitung deiner Näherungsfunktion mit der der Ausgangsfunktion (f(x)=p(x) und f'(x)=p'(x)), hast du dort einen glatten Übergang!

Frage: Hast du folgenden Satz noch nachträglich ergänzt?

Wie bestimme ich eine ganzrationale Funktion, die durch einen Punkt ohne knick-, sprung-, und krümmungsruckfrei verläuft?

Weil das habe ich zu Beginn nicht auffinden können.

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ah ok, vielen dank nochmal, hab's endlich verstanden! :)

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Eine Frage hätte ich aber noch, wenn die Aufgabe besagt,dass ich prüfen soll ob eine trigonometrische Funktion diese Anforderungen erfüllen kann heißt dass dann, dass ich genau dieselben Schritten von oben wiederholen soll nur mit einem anderen Funktionstypen aber denselben Werten?

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Ja, genau. Allgemein ist zb die Sinusfunktion so definiert:

$$ q(x)=a\cdot \sin(b\cdot(x+c))+d $$

Damit müsstest du wieder Ableitungen bilden und ein Gleichungssystem lösen. Aber vorsicht. Das ist dann nicht mehr ein lineares Gleichungssystem, denn du hast dir eine Funktion gewählt, wo die Koeffizienten in einem nichtlinearem Zusammenhang vorkommen. Solche Gleichungssysteme lassen sich dann im Allgemeinen nicht mehr so einfach lösen, bzw. nur noch näherungsweise. Das liegt einfach daran, dass man sehr schnell das Problem bekommt, nicht mehr die passenden Umkehroperationen zur Verfügung zu haben, bzw. es gibt sie zwar, aber man kann sie nicht mehr elementar hinschreiben. Bei solchen Systemen ist es eher einfacher nachzuweisen, dass es Lösungen gibt, als sie tatsächlich angeben zu können.

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@hallo97:

Ein Übergangspunkt zweier Kurven, der "krümmungsruckfrei" ist, muss keineswegs ein Wendepunkt sein ! Bedingung ist nur, dass die zweite Ableitung in einem solchen Punkt stetig ist - aber nicht, dass sie gleich 0 sein muss (wie es bei einem Wendepunkt der Fall wäre).

Deine Kurve mit dem Polynom 4. Grades ist an den Stellen 0 und 4  nicht krümmungsruckfrei. Vergleiche dazu einfach die zweiten Ableitungen an diesen Stellen (jeweils für die beiden sich dort treffenden Funktionen).

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Achso stimmt. Allerdings erscheint es mir dann etwas seltsam so etwas dann krümmungsruckfrei zu nennen, denn mit f(x)=p(x) und f'(x)=p'(x) hat man doch bereits einen glatten Übergang geschaffen.

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Ein "glatter Übergang" ist eben nicht unbedingt auch ruckfrei. Schau dir dies im angegebenen Video nochmal genau an. Würde ein Schnellzug von einer geraden Fahrstrecke unmittelbar in eine kreisbogenförmige Kurve mit einem gewissen (nicht sehr großen) Krümmungsradius fahren, gäbe es mit hoher Wahrscheinlichkeit ein schlimmes Unglück. Im harmlosen Fall würden vielleicht nur etwa im Speisewagen alle Getränke von den Tischen fallen und der Kellner an die Wand knallen.

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Ok, das klingt plausibel. Das hat also mehr praktische Gründe als theoretische Gründe.

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Alles klar, vielen Dank nochmal! Allerdings müsste ich aus sehr wichtigen privaten Gründen darum bitten, dass die Frage gelöscht werden soll aufgrund der rechtlichen Konsequenzen. Grüße

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Die "praktischen Gründe", aus welchen man z.B. Bahngeleise "krümmungsruckfrei" verlegen soll, haben sehr wohl einen soliden theoretischen Hintergrund. Die entsprechende Theorie ist in der Physik zu finden. Bewegt sich der Zug mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig, so merken wir im Zuginneren gar nichts von der Bewegung, es herrschen keine Beschleunigungen. Fährt der Zug auf einem Kreisbogen vom Radius r mit Geschwindigkeit v, so wirkt im Inneren des Zuges scheinbar eine seitliche Beschleunigung  a_quer = v² / r  und somit eine "Fliehkraft".

Damit sich bei einer Bewegung entlang einer Funktionskurve diese Querbeschleunigung nicht plötzlich ruckartig ändert, muss man darauf achten, dass die zweite Ableitung  f''(x)  stetig ist. In der Verkehrstechnik und insbesondere auch im Straßenbau verwendet man deshalb auch als spezielle Übergangskurven die "Klothoïden", welche einen möglichst sanften, gleichmäßigen Wechsel der Kurvenkrümmung bei der Durchfahrt ermöglichen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Klothoide

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Würde ein Schnellzug von einer geraden Fahrstrecke unmittelbar in eine kreisbogenförmige Kurve mit einem gewissen (nicht sehr großen) Krümmungsradius fahren, gäbe es mit hoher Wahrscheinlichkeit ein schlimmes Unglück

Könntest du das begründen ?

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Naja, es würde eben beim Übergangspunkt in die Kurve augenblicklich eine seitliche Fliehkraft auftreten, welche einen je nach Geschwindigkeit massiven Ruck bewirkt, der den Zug z.B. aus dem Geleise werfen kann. (Stichwort: Newtons Gesetze der Mechanik)

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Das Newtonsche Gesetz besagt aber, dass die Kraft, die den Zug möglicherweise aus den Gleisen werfen könnte, proportional zur Beschleunigung ist, aber nichts mit der Änderung der Beschleunigung (=Ruck) zu tun hat.

Richtig ist vielmehr folgendes :
Damit ein Fahrgast im Zug seinen Kopf schön aufwärts auf seinen Schultern behält, muss er in Kurvenfahrten eine Zentripetalkraft auf diesen ausüben, was die Halsmuskeln erledigen. Das Problem bei einem nicht ruckfreien Übergang sind nicht etwa hohe Beschleunigungswerte, die zu so hohen Kräften führen, dass die Halsmuskulatur überfordert wäre (das kommt nur bei Kurvenfahrten mit hohen Geschwindigkeiten in engen Kurven vor), sondern das Problem ist, dass die Halsmuskulatur ihrerseits nicht ruckhaft sondern nur langsam, mit sanftem Übergang angespannt werden kann, was zu einem unausgewogenem Verhältnis zwischen erforderlicher und tatsächlich zur Verfügung gestellter Zentripetalkraft führen kann.

Das betrifft aber keinesfalls das oben erwähnte Geschirr im Speisewagen.

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hj2166:

Ja, ich wünsche dir auch einen weiterhin schönen und ruckfreien Tag ...

Und: das Geschirr hat halt gar keine Halsmuskeln.