Also wenn dein Punkt A mit einbezogen werden soll, dann hast du folgende Angaben zu berücksichtigen:
\(f(0), f'(0), g(4), g'(4)\) und Punkt A. Das sind also 5 Informationen, wofür du lediglich nur ein Polynom 4. Grades brauchst:
$$ p(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^3+c\cdot x^2+d\cdot x+k\\p'(x)=4\cdot a\cdot x^3+3\cdot b\cdot x^2+2\cdot c \cdot x+d $$
Damit stellst du dein LGS auf:
1.) \(p(0)=a\cdot 0^4+b\cdot 0^3+c\cdot 0^2+d\cdot 0+k=f(0)=2\)
2.) \(p(4)=a\cdot 4^4+b\cdot 4^3+c\cdot 4^2+d\cdot 4+k=g(4)=2\)
3.) \(p(2)=a\cdot 2^4+b\cdot 2^3+c\cdot 2^2+d\cdot 2+k=1\) Punkt A
4.) \(p'(0)=4\cdot a\cdot 0^3+3\cdot b\cdot 0^2+2\cdot c \cdot 0+d=f'(0)=-1 \)
5.) \(p'(4)=4\cdot a\cdot 4^3+3\cdot b\cdot 4^2+2\cdot c \cdot 4+d=g'(4)=0.5 \)
Vergleiche:
$$ a=-\frac{1}{64},\quad b=\frac{3}{32},\quad c=\frac{1}{8},\quad d=-1,\quad k=2 $$
