Hallo, ich würde mich freuen, wenn mir jemand beim Lösen dieser Aufgabe unter die Arme greifen könnte:
Seien \( V_{0}, \ldots, V_{n+1} \) endlichdimensionale \( K \) -Vektorräume mit \( V_{0}=V_{n+1}=0 \) und seien \( f_{i}: V_{i} \rightarrow V_{i+1} \) lineare Abbildungen mit \( \operatorname{im}\left(f_{i}\right)=\operatorname{ker}\left(f_{i+1}\right) \) für \( 0 \leq i \leq n \)
(1) Zeigen Sie, dass \( f_{1} \) injektiv ist und dass \( f_{n-1} \) surjektiv ist.
(2) Zeigen Sie:
$$ \sum \limits_{i=1}^{n}(-1)^{i} \operatorname{dim} V_{i}=0 $$
(3) Sei \( V \) ein endlichdimensionaler \( K \) -Vektorraum und seien \( U, W \subseteq V \) Unterräume. Wir betrachten \( V_{1}=U \cap W, V_{2}=U \oplus W \) (als äußere direkte Summe) und \( V_{3}=U+W \) Geben Sie passende Abbildungen an, um mit Aufgabenteil (2) die Dimensionsformel für Unterräume zu erhalten.
Die Definitionen von Injektivität, Surjektivität etc. sind mir bewusst, allerdings verwirrt mich die Aufgabenstellung etwas.
Mit freundlichen Grüßen
Aqua_Supera
