endlichdimensionale Unterräume eines Vektorraumes

Question

Zeigen Sie: Für drei endlichdimensionale Unterräume U_i  eines Vektorraumes V gilt 4 dim U₁ + 4 dim U₂ + 4 dim U₃  = dim (( U₁ ∩ U₂ ) +U₃ ) + dim (( U₂ ∩ U₃ ) +U₁  )

+ dim (( U₃ ∩ U₁  ) + U₂ )

+ dim (( U₁  + U₂ ) ∩ U₃) + dim (( U₂ +U₃  ) ∩ U₁ )

+ dim (( U₃ +U₁ ) ∩ U₂ )

+ 3 dim ( U₁ + U₂  + U₃ ) + 3 dim ( U₁ ∩ U₂ ∩ U₃  ).

Answer 1

Du kennst sicher den Fall für zwei Unterräume  W1 und W2 von V
dim( W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim (W1 ∩ W2)

und wenn du das jetzt anwendest auf W1 = V1+V2  und W2 = V3
und dann auf  W1 = V1+V3  und W2 = V2
und dann auf W1 = V1   und W2 = V2+V3

bekommst du drei Gleichungen und wenn du die alle addierst
hast du es wohl.