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Zeigen Sie: Für drei endlichdimensionale Unterräume Ui  eines Vektorraumes V gilt 4 dim U1 + 4 dim U2 + 4 dim U= dim (( U1 ∩ U2 ) +U3 ) + dim (( U2 ∩ U3 ) +U)

              + dim (( U3 ∩ U) + U2 )

                + dim (( U+ U2 ) ∩ U3) + dim (( U2 +U) ∩ U1 )

                 + dim (( U3 +U1 ) ∩ U2 )

                + 3 dim ( U1 + U+ U3 ) + 3 dim ( U1 ∩ U2 ∩ U).

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Du kennst sicher den Fall für zwei Unterräume  W1 und W2 von V
dim( W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim (W1 ∩ W2)

und wenn du das jetzt anwendest auf W1 = V1+V2  und W2 = V3
und dann auf  W1 = V1+V3  und W2 = V2
und dann auf W1 = V1   und W2 = V2+V3

bekommst du drei Gleichungen und wenn du die alle addierst
hast du es wohl.
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