R ist kein endlich erzeugter Q-Vektorraum

Question

Aufgabe:

Zu Zeigen: R ist kein endlich erzeugter Q-Vektorraum.

Problem/Ansatz:

R ist kein endlich erzeugter Q-Vektorraum.

Wer kann mir helfen, um diese Äquivalenz zu zeigen? Danke.

Answer 1

Die Wurzeln aus den Primzahlen sind über Q linear unabhängig.

Und von den Primzahlen gibt es unendlich viele.

Answer 2

Wäre \(R\) ein endlich erzeugter \(Q\)-Vektorraum, dann gäbe es eine

Bijektion (nämlich einen Isomorphismus)  \(R\cong Q^n\)

mit einer natürlichen Zahl \(n\geq 1\).

Da aber \(Q^n\) abzählbar ist, wäre dann auch \(R\) abzählbar,

was bekanntermaßen nicht der Fall ist.