Endlich Erzeugter Vektorraum der Dimension n, und seien f und g lineare Abbildungen von V nach V

Question

Guten Tag liebe Mathefreaks,

habe leider gar kein Plan wie ich die Aufgabe Lösen soll,

Sei V endlich Erzeugter Vektorraum der Dimension n, und seien f und g lineare Abbildungen von V nach V.

Beweisen Sie: Wenn f o g = 0, so folgt Rg(f)+Rg(g) ≤ n.

Answer 1

Hinweis: Erkenne, dass \(\text{Bild}(g)\subseteq\text{Kern}(f)\) ist und benutze den Rangsatz.

Lösung:

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Wenn \(f\circ g = 0\) ist, so ist das Bild von \(g\) eine Teilmenge des Kernes von \(f\), also \(\text{Bild}(g)\subseteq\text{Kern}(f)\). Demnach ist \(\dim(\text{Bild}(g))\leq\dim(\text{Kern}(f))\)

Nach Rangsatz ist \(\dim(V)=\dim(\text{Bild}(f))+\dim(\text{Kern}(f))\).

Nach Definition des Ranges linearer Abbildungen ist \(\text{Rg}(f)=\dim(\text{Bild}(f))\) und \(\text{Rg}(g)=\dim(\text{Bild}(g))\).

Nach Voraussetzung ist \(\dim(V)= n\).

Setzt man das alles zusammen erhält man: \[\begin{aligned}\text{Rg}(f)+\text{Rg}(g)&=\dim(\text{Bild}(f))+\dim(\text{Bild}(g))\\&\leq \dim(\text{Bild}(f))+\dim(\text{Kern}(f))\\&= \dim(V)=n\end{aligned}\]

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Comments

Hallo, die Frage wurde ja schon vor etwas längerer Zeit erklärt, aber könntest du evt. noch mal zeigen, warum aus f∘g=0 folgt, dass Bild(g)⊆Kern(f).

Würde g(f(v))=0 nicht heißen, dass f(v)∈Kern(g) ist?