Unterräume eines Vektorraumes nachweisen

Question

Die Aufgabe lautet, nachzuweisen, dass die gegebene Menge U1 ein Unterraum des Vektorraumes R² ist.

U1 = {(x, y) ∈ R² | y = x² }

Dazu müssen ja Eigenschaften geprüft werden, nämlich Abgeschlossenheit in U (Summe der Vektoren muss auch ein Element von U sein) und bezüglich skalarer Verknüpfung.

Also bilde ich mir die Vektoren u1=(x1 y1) und u2=(x2 y2) und setze in die gegebene Bedingung (y=x²) ein, dann habe ich:

(y1+y2)=(x1+x2)²

Aber was jetzt? Wie soll ich jetzt beweisen, dass die Summe der zwei Vektoren auch ein Element von U ist? Muss auf der einen Seite 0 rauskommen? Ich verstehe irgendwie den ganzen Nachweis nicht, der Prof hat dazu leider auch nicht wirklich was gesagt. Ganz zu schweigen von der skalaren Verknüpfung.

Comments

Mal angenommen, die Bedingung wäre so:

x ≤ y

Was müsste ich jetzt tun? Hier kann ich ja nicht sagen "Dieses Element entspricht diesem Element" und dann ein Element durch das andere ersetzen. Hier soll x ja kleiner gleich y sein.

Also erst mal wieder die Vektoren u1=(x1 y1) und u2=(x2 y2). In die Bedingung eingesetzt wäre das dann:

x1+x2 ≤ y1+y2

Aber es muss ja irgendwie jetzt weitergehen. Soweit ich weiß, darf die Summe der Vektoren eingesetzt in die Bedingung keinen Widerspruch hervorbringen, damit der Unterraum nachgewiesen ist. Hier widerspricht sich ja nichts, wäre damit also x1+x2 ≤ y1+y2 schon der Beweis?

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Im Prinzip stimmt das erstmal. Ist aber nur eine Bedingung die ein Unterraum erfüllen muss.

Die Homogenität ist hier nicht erfüllt, denn

wenn man den Vektor u_(1)=(0,1) mit einer negativen Zahl multipliziert liegt er nicht mehr drin.

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Danke dir! Also handelt es sich dann nicht um einen Unterraum, da hier ein Widerspruch bei der skalaren Verknüpfung vorliegt.

Answer 1

Naja zur Additivität:

Nimm zwei Elemente aus dem Unterraum. Seien diese a = (x1|x1^2) und b = (x2|x2^2). (Man beachte ich hab in der zweiten Koordinate jeweils die Bedingung, die gefordert ist, nämlich y = x^2, eingesetzt).

Ich bilde die Summe a+b = (x1+x2|x1^2+x2^2). Nun muss ich zeigen, dass a+b auch ein Element des Unterraums ist und sehe upps das geht gar nicht. Die Bedingung: y = x^2, liefert: x1^2+x2^2 = (x1+x2)^2 und das ist offensichtlich falsch.

Das hab ich jetzt nur gemacht, um dir einen Beweisansatz für andere Aufgaben zu liefern.

Hier ist es leichter, indem du als Gegenbeispiel (1|1) und (2|4) hernimmst. Beide sind in U1 drinnen. Die Summe (3|5) aber nicht mehr.

Comments

Leider kann ich das noch nicht so ganz nachvollziehen. Sollen die Elemente a und b Vektoren sein? Und wenn du in die zweite Koordinate die Bedingung y=x² eingesetzt hast, warum steht in der zweiten Koordinate dann x1² bzw. x2²?

Grüße :)

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Moment, jetzt ist es mir doch klar geworden, der Vektor besteht ja aus x und y, und y ist ja hier laut Bedingung das Gleiche wie x². :D

Answer 2

  Mab sieht sofort, dass das nicht sein kann.  ( 1 | 1 )  liegt in U1 wegen 1 ² = 1 .   Wenn aber ( 1 |1 ) dann auch

      (  2  |  2  )  =  2  (  1  |  1  )

     Aber 2  ²  ist nicht gleich 2 ; Widerspruch