Anzahl gemeinsamer Punkte der Geraden ermitteln

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f durch f(x)=1/6x(x-8)².

Jede durch den Koordinatenursprung verlaufende Gerade hat mindestens einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen der Funktion f. Ermitteln Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte dieser Geraden mit dem Graphen der Funktion f in Abhängigkeit vom Anstieg der Geraden.

Lösung:

m = 32/3 oder m = 0 -> genau zwei gemeinsame Punkte

m > 0 und 0 < m ≠ 32/3 -> genau drei gemeinsame Punkte

m < 0 -> genau ein gemeinsamer Punkt

Ich benötige den Lösungsweg für diese Aufgabe.

Answer 1

Funktionen der Gestalt \(x\mapsto ax\) mit \(a\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\) gehen durch den Ursprung.

Aus \(ax=\frac{1}{6}x(x-8)^2\) folgt, dass \(x_1=0\) oder \(x_{2,3}=8\pm \sqrt{6a}\). Jede Gerade schneidet \(f\) also in \((0,0)\). Geraden mit \(a>0\) schneiden \(f\) überdies in \(x_{2,3}\).

Comments

Jede Gerade schneidet \(f\) also in \((0,0)\).

Nicht jede Ursprungsgerade.

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"Jede Gerade der zuvor genannten Gestalt \(x\mapsto ax\)" wäre vielleicht glücklicher formuliert

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Für a=32/3 ist der Ursprung kein Schnittpunkt.

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Achso, ich weiß um was es geht. Dort liegt die Gerade tangential an (0,0).