Beweis der Eulerschen Gerade

Question

Aufgabe:

Hallo. Ich habe in einem eine Aufgabe gefunden, die ich gerne lösen möchte:

Gegeben sind drei Punkte A,B und C, die denselben Abstand von (0|0) haben, also: ||A|| = ||B||=||C||. Wir bezeichnen die Summe A+B+C mit H.

a. Zeige, dass die Gerade durch A und H normal auf der Geraden durch B und C steht, das heißt, dass (H-A)*(B-C)=0 ist.

b. Zeige, dass die Gerade durch B und H normal auf der Geraden durch A und C steht und dass die Gerade durch C und H normal auf der Geraden durch A und B steht.

c. Versuche zu erklären, warum man H den Höhenschnittpunkt und (0|0) den Umkreismittelpunkte des Dreiecks ABC nennt.

d. Die Gerade durch einen Eckpunkt des Dreiecks und den Mittelpunkt der Strecke zwischen den anderen zwei Eckpunkten heißt Schwerlinie in diesem Eckpunkt. Zeige, dass die Schwerlinie durch A {A+ t(1/2(B+C)-A) | t Element R} ist. Schreibe die Schwerlinie durch B und C an.

e. Zeige, dass die Punkte 1/3(A+B+C) ein Punkt aller drei Schwerlinien ist.  (Hinweis: Wähle in d. t=2/3). Schließe daraus, dass sich die drei Schwerlinien in diesem Punkt (dem Schwerpunkt) schneiden.

f. Verwende die Ergebnisse von a.-e. um zu zeigen, dass der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks immer auf einer Geraden liegen.

Problem/Ansatz:

a und b hätte ich gezeigt:  Da A=H und somit (H-A)*(B-C)= 0 gilt. Ich hoffe, dass ist ausreichend.

Die anderen Beispiele schaffe ich leider nicht. Interessant wäre für mich Beispiel f. (Aber leider braucht man dazu wahrscheinlich alle anderen Beispiele)

Ich hoffe mir kann jemand helfen, wäre sehr froh darüber. Danke.

Answer 1

Da A=H

In der Aufgebanstellung steht aber A+B+C = H.

dass (H-A)*(B-C)=0 ist

Einsetzen von H = A + B + C in (H-A)*(B-C) ergibt

        (A+B+C-A)*(B-C)

was sich umformen lässt zu

        (B+C)*(B-C)

und mit dem Distributivgesetz zu

        B*B + C*B - B*C - C*C

was wegen C*B = B*C und |B| = |C| den Wert 0 ergibt.

warum man H den Höhenschnittpunkt ... des Dreiecks ABC nennt.

Weil die Höhe eines Dreieck durch einer Ecke verläuft und senkrecht zur gegenüberliegenden Seite ist.

warum man ... (0|0) den Umkreismittelpunkte des Dreiecks ABC nennt.

Weil der Umkreis der Kreis ist, auf dem alle Ecken des Dreiecks liegen.

Zeige, dass die Schwerlinie durch A {A+ t(1/2(B+C)-A) | t Element R} ist.

1/2(B+C) ist der Mittelpunkt der Strecke AB.

1/2(B+C)-A ist also der Vektor von A zum Mittelpunkt der Strecke AB. Der wird als Richtungsvektor der Schwerlinie verwendet und A als Stützvektor.

Zeige, dass die Punkte 1/3(A+B+C) ein Punkt aller drei Schwerlinien ist.

Zeige, dass

        A+ 2/3(1/2(B+C)-A) = 1/3(A+B+C)

ist.

Verwende die Ergebnisse von a.-e. um zu zeigen, dass der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks immer auf einer Geraden liegen.

Stelle die Parameterdarstellung für die Gerade durch die Punkte (0|0) und H auf. Zeige, dass 1/3(A+B+C) auf dieser Geraden liegt.