Funktion in eine Taylorreihe entwickeln

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{3}}{3+x^{3}} \)
Entwickeln Sie die Funktion \( f \) in eine Taylorreihe um \( x_{0}=0 \)

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\frac{x^3}{3+x^3}=\frac{3+x^3-3}{3+x^3}=1-\frac{3}{3+x^3}=1-\frac{1}{1+\frac{x^3}{3}}=1-\frac{1}{1-\left(-\frac{x^3}{3}\right)}$$Mit \(q:=-\frac{x^3}{3}\) ergibt sich aus der Summenformel für die geometrischen Reihe:$$\frac{1}{1-\left(-\frac{x^3}{3}\right)}=\frac{1}{1-q}=\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac{x^3}{3}\right)^n$$Damit haben wir:$$f(x)=1-\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac{x^3}{3}\right)^n=1-1-\sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{x^3}{3}\right)^n=-\sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{x^3}{3}\right)^n$$$$\phantom{f(x)}=-\sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{3}\right)^n\left(x^3\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{(-3)^{n+1}}\,x^{3n}$$

Answer 2

Hallo

2 Möglichkeiten: 1. mühsam die Ableitungen bestimmen und an der Stelle x=0 auswerten und in die Formel einsetzen

2. als x^3/3* 1/(1-(-x^3/3) als geometrische Reihe sehen .

Gruß lul