Taylorreihe entwickeln (Hinweis: Grenzwerte von geometrischen Reihen verwenden)

Question

nach langer Zeit beehre ich das Forum wieder mal mit einer neuen Frage.

$$f(x) = \frac {1}{1-2x}$$

Es soll für diese Funktion die Taylorreihe um x₀ = 0 entwickelt werden. Es steht noch dieser Hinweis:

"Hinweis: Grenzwerte von geometrischen Reihen verwenden!"

Das verstehe ich nicht. Ich bin ganz normal vorgegangen und erhalte:

$$\frac {1}{1-2x}= 1+2x+4x^2+8x^3+...$$

Stimmt bitte meine Lösung und was ist mit diesem Hinweis gemeint?

Answer 1

allg. ist ja Grenzwert der geo. Reihe 1 / ( 1 - q ) und mit q = 2x erhältst du genau die Reihe, die du aufgeschrieben hast. Wäre also auch ohne Taylor-Formel einfach über die geo-Reihe gegangen.

Comments

Doch noch eine Frage: Gleicher Hinweis, neue Aufgabe:

$$f(x)=\frac {x}{3+5x}$$

Wie gehe ich hier nun vor? Muss ich versuchen die Funktion auf die Form des Grenzwertes von geometrischen Reihen zu bringen?

Answer 2

Hi,

gemeint ist

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n \quad \text{ für } |2x| < 1$$

Gruß

Comments

Yep, das steht in der Lösung. Ist so natürlich leichter.