Logarithmus: Taylorreihe mit ln(1+x)

Question

Aufgabe:

f(x) = ln(1+x), Polynom 2ten Grades

Entwicklungspunkt = 0

Approximationsfehler |x| < \( \frac{1}{2} \)

Problem/Ansatz:

Habe da ein Problem mit der Berechnung bei x₀=0.

Wenn ich \( \frac{ln(1+x)(0)}{0!} \) (x-0) habe kann ich mir nicht vorstellen das dort ganz

einfach 0 rauskommt. Muss ich da bestimmte Logarithmusgesetze anwenden um auf das richtige Ergebnis zu kommen?

Kann mir jemand im Detail beschreiben wie ich da richtig vorgehen soll?

Comments

Da der Funktionsgraph durch den Ursprung verläuft, ist es schon sinnig, dass das konstante Glied den Wert null hat.

Answer 1

Warum kannst du dir nicht vorstellen das dort 1 heraus kommt. Das kannst du doch mit dem Taschenrechner nachrechnen.

Die Taylorentwicklung lautet aber

T2(x) = f(0)/0!·(x - 0)^0 + f'(0)/1!·(x - 0)^1 + f''(0)/2!·(x - 0)^2

= x - 0.5·x^2

Skizze:

~plot~ ln(x+1);x-0.5*x^2;[[-4|4|-3|3]] ~plot~

Comments

Nochmal ich kann mir nicht vorstellen das da 0 rauskommt.

Ich weiß, dass ich da ganz bestimmt etwas falsch rechne

Mein problem gerade ist, das wenn ich etwas mit 0 multipliziere kommt da ja wieder 0 raus oder nicht?

Hab die notierung etwas anders gelehrt bekommen

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Richtig.

f(0)/0!·(x - 0)^0

f(0) = ln(1 + 0) = ln(1) = 0
0! = 1
(x - 0)^0 = x^0 = 1

Also

0/1·1 = 0·1 = 0

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Und für die nächsten 2 Grade kommt auch wieder 0 raus?

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Hab die notierung etwas anders gelehrt bekommen

Wie hat man es euch beigebracht.

Wikipedia meint dazu

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel

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Und für die nächsten 2 Grade kommt auch wieder 0 raus?

Dann machst du etwas verkehrt. Zeig doch mal deine Rechnung. Vielleicht stimmt auch nur die Taylor-Formel nicht die du notiert hast.

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Also als aller erstes zu den Ableitungen:

f(x) = ln(1+x)

f'(x) = \( \frac{1}{1+x} \)

f''(x) = \( \frac{-1}{(1+x)²} \)

weiß leider nicht wie man einen doppelbruch hier macht

f(x) = \( \frac{ln(1+x)(0)}{0!} \) (x-0)⁰ + \( \frac{1}{1+x} \) (0) / 1! (x-0)^1 + \( \frac{-1}{(1+x)²} \) (0)/ 2! (x-0)²

wenn ich jetzt \( \frac{1}{1+x} \) (0) / 1! (x-0)^1

einzeln untersuchen möchte :

\( \frac{0}{1+x} \) / 1 = 0

(x-0)^1 = x

0 * x = 0

hoffe man verstehts

die Formel ist die selbe wie in dem Wikipedia link nur schreibe ich die Ableitungen mit rein statt nur z.B. "f'(a)" zu schreiben

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Du hast noch überall (0) stehen. Woher hast du die ?

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Das ist x0 = 0 Der Entwicklungspunkt

oder auch 'a' in dem Wikipediaeintrag

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Beachte das f'(a) ein Ausdruck ist und bedeutet das du in die erste Ableitung einfach a einsetzen sollst. Wenn du das machst kommt doch nicht trotzdem noch (a) dahinter.

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Lautet das richtige Ergebnis dann

0 + x - \( \frac{x²}{2} \) ?

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Ja das ist richtig. Siehe auch mein Ergebnis in der allerersten Antwort inkl. Skizze.