Berechne die Taylorreihe

Question

Aufgabe:

Berechne die Taylorreihe \( F(X)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-3)^{n} \) (d.h. zu berechnen sind die Koeffizienten \( a_{n}, n= \) \( 0,1,2, \ldots) \) zu \( f(x)=x^{3} \) mit Entwicklungsstelle \( a=3 \).

Problem/Ansatz:

Bedeutet dies ich soll a0 bis a3 aufsummieren und somit die Polynomfunktion annähern? Oder ist mit der Entwicklungsstelle was anderes gemeint?

Answer 1

Aloha :)

Du sollst die Funktion \(f(x)=x^3\) um die Stelle \(a=3\) in eine Taylorreihe entwickeln:$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot(x-a)^n$$Dazu brauchst du die Ableitungen an der Stelle \(a=3\):$$f^{(0)}(a)=f(3)=3^3=27$$$$f^{(1)}(3)=f'(3)=\left(3x^2\right)_{x=3}=27$$$$f^{(2)}(3)=f''(3)=\left(6x\right)_{x=3}=18$$$$f^{(3)}(3)=f'''(3)=\left(6\right)_{x=3}=6$$Alle weiteren Ableitungen sind \(0\). Damit haben wir die Taylorreihe:$$f(x)=\frac{27}{0!}\cdot(x-3)^0+\frac{27}{1!}\cdot(x-3)^1+\frac{18}{2!}\cdot(x-3)^2+\frac{6}{3!}\cdot(x-3)^3$$$$f(x)=27+27\cdot(x-3)+9\cdot(x-3)^2+(x-3)^3$$

Comments

Danke das hat geholfen