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Aufgabe: $$\frac 1{2^1} + \frac 2{2^2}+ \frac 3{2^3} + \dots + \frac n{2^n} = 2 - \frac{n+2}{2^n}$$

Problem/Ansatz:

Hallo Leute und zwar kann mir jemand beim vollständige Induktion beweis von dieser Aufgabe helfen, da ich mit dem beweis nicht weiter gekommen bin

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Zu beweisen 

∑ (k = 1 bis n) (k/2^k) = 2 - (n + 2)/2^n

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis 1) (k/2^k) = 2 - (1 + 2)/2^1
1/2^1 = 2 - (1 + 2)/2^1
1/2 = 2 - 3/2
1/2 = 1/2
wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

∑ (k = 1 bis n + 1) (k/2^k) = 2 - (n + 1 + 2)/2^(n + 1)
2 - (n + 2)/2^n + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 1 + 2)/2^(n + 1)
2 - (2n + 4)/2^(n + 1) + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1)
2 - (n + 3)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1)
wahr

Avatar von 487 k 🚀

(2n + 4)/2^(n + 1) + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1)

Ich verstehe diesem schritt nicht, woher kamm die (2n+4)/2^n+1?

Du erweiterst den Bruch mit 2. Das bedeutet Zähler und Nenner wird mit 2 multipliziert.

Und wie sind sie  auf diesem schritt gekommen?

 2 - (n + 2)/2n + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 1 + 2)/2^(n + 1)

Ich entschuldige mich für die viele Fragen :)

Du teilst die Summe von 1 bis n + 1 auf in die Summe von 1 bis n und den Term mit n + 1 extra.

Das ist ein gängiges Verfahren in der vollständigen Induktion und solltest du eigentlich kennen.

∑ (k = 1 bis n + 1) (k/2^k)

= ∑ (k = 1 bis n) (k/2^k) + ((n + 1)/2^(n + 1))

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Die Formel 1/21 +2/22 +3/23......n/2n =2- n+2/2n gilt bereits für n=1 nicht.

Avatar von 123 k 🚀

1/2^1 = 2 - (1 + 2)/21
1/2 = 2 - 3/2
1/2 = 1/2

Doch

Die Formel 1/21 +2/22 +3/23......n/2n =2- n+2/2n enthält die von dir jetzt gesetzten Klammern nicht.

Ja srry hab vergessen die klammern zu schreiben

Das kann jedem mal passieren.

Danke, Haben Sie irgend ein Vorschlag für den Beweis? :)

Den Beweis hat Der Mathecoach dir doch schon aufgeschrieben. Dem ist nichts hinzuzufügen.

Ich habe verstanden dass er beim Induktionsschritt als erstes für jede n ein n+1 eingesetzt hat aber danach wie er vorgegangen ist habe ich nicht verstanden

∑ (k = 1 bis n + 1) (k/2k) = 2 - (n + 1 + 2)/2^(n + 1)

Σ(k = 1 bis n )k/2k + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 1 + 2)/2^(n + 1)

Diese Zeile fehlte beim Mathecoach.

Jetzt wird Σ(k = 1 bis n )(k/2k) = 2 - (n + 2)/2n eingesetzt:

2 - (n + 2)/2n + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 1 + 2)/2^(n + 1)

2 - (2n + 4)/2^(n + 1) + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1) wie ist er aber von da auf 2 - (n + 3)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1) gekommen.

Das hast du doch selbst geschrieben: "Ich habe verstanden, dass er beim Induktionsschritt als erstes für jedes n ein n+1 eingesetzt hat."

Nein ich meine am ende soll ja auf der linken seite gleich der rechten seite raus kommen damit wir beweisen das es wahr ist. in dem Fall muss  ja 2 - (n + 3)/2^(n + 1).

Aber wenn man:

 2 - (2n + 4)/2^(n + 1) + (n + 1)/2^(n + 1) addiert, dann kommt 3n+5/2^(n+1) raus und nicht 2- (n+3)/2^(n+1)

 2 - (2n + 4)/2^(n + 1) + (n + 1)/2^(n + 1)

Das sind hinter der 2 zwei Brüche mit dem gleichen Nenner. Der Zähler ist -(2n+4)+(n+1)=-2n-4+n+1= -n-3=-(n+3). Also insgesamt mit der 2 davor:

2- (n+3)/2^(n+1)

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