Vollständige Induktion...

Question

Aufgabe: $$\frac 1{2^1} + \frac 2{2^2}+ \frac 3{2^3} + \dots + \frac n{2^n} = 2 - \frac{n+2}{2^n}$$

Problem/Ansatz:

Hallo Leute und zwar kann mir jemand beim vollständige Induktion beweis von dieser Aufgabe helfen, da ich mit dem beweis nicht weiter gekommen bin

Answer 1

Zu beweisen 

∑ (k = 1 bis n) (k/2^k) = 2 - (n + 2)/2^n

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis 1) (k/2^k) = 2 - (1 + 2)/2^1
1/2^1 = 2 - (1 + 2)/2^1
1/2 = 2 - 3/2
1/2 = 1/2
wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

∑ (k = 1 bis n + 1) (k/2^k) = 2 - (n + 1 + 2)/2^(n + 1)
2 - (n + 2)/2^n + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 1 + 2)/2^(n + 1)
2 - (2n + 4)/2^(n + 1) + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1)
2 - (n + 3)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1)
wahr

Comments

(2n + 4)/2^(n + 1) + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1)

Ich verstehe diesem schritt nicht, woher kamm die (2n+4)/2^n+1?

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Du erweiterst den Bruch mit 2. Das bedeutet Zähler und Nenner wird mit 2 multipliziert.

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Und wie sind sie  auf diesem schritt gekommen?

 2 - (n + 2)/2n + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 1 + 2)/2^(n + 1)

Ich entschuldige mich für die viele Fragen :)

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Du teilst die Summe von 1 bis n + 1 auf in die Summe von 1 bis n und den Term mit n + 1 extra.

Das ist ein gängiges Verfahren in der vollständigen Induktion und solltest du eigentlich kennen.

∑ (k = 1 bis n + 1) (k/2^k)

= ∑ (k = 1 bis n) (k/2^k) + ((n + 1)/2^(n + 1))

Answer 2

Die Formel 1/2¹ +2/2² +3/2³......n/2ⁿ =2- n+2/2ⁿ gilt bereits für n=1 nicht.

Comments

1/2^1 = 2 - (1 + 2)/21
1/2 = 2 - 3/2
1/2 = 1/2

Doch

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Die Formel 1/2¹ +2/2² +3/2³......n/2ⁿ =2- n+2/2ⁿ enthält die von dir jetzt gesetzten Klammern nicht.

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Ja srry hab vergessen die klammern zu schreiben

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Das kann jedem mal passieren.

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Danke, Haben Sie irgend ein Vorschlag für den Beweis? :)

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Den Beweis hat Der Mathecoach dir doch schon aufgeschrieben. Dem ist nichts hinzuzufügen.

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Ich habe verstanden dass er beim Induktionsschritt als erstes für jede n ein n+1 eingesetzt hat aber danach wie er vorgegangen ist habe ich nicht verstanden

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∑ (k = 1 bis n + 1) (k/2k) = 2 - (n + 1 + 2)/2^(n + 1)

Σ(k = 1 bis n )k/2^k + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 1 + 2)/2^(n + 1)

Diese Zeile fehlte beim Mathecoach.

Jetzt wird Σ(k = 1 bis n )(k/2^k) = 2 - (n + 2)/2ⁿ eingesetzt:

2 - (n + 2)/2ⁿ + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 1 + 2)/2^(n + 1)

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2 - (2n + 4)/2^(n + 1) + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1) wie ist er aber von da auf 2 - (n + 3)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1) gekommen.

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Das hast du doch selbst geschrieben: "Ich habe verstanden, dass er beim Induktionsschritt als erstes für jedes n ein n+1 eingesetzt hat."

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Nein ich meine am ende soll ja auf der linken seite gleich der rechten seite raus kommen damit wir beweisen das es wahr ist. in dem Fall muss  ja 2 - (n + 3)/2^(n + 1).

Aber wenn man:

 2 - (2n + 4)/2^(n + 1) + (n + 1)/2^(n + 1) addiert, dann kommt 3n+5/2^(n+1) raus und nicht 2- (n+3)/2^(n+1)

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 2 - (2n + 4)/2^(n + 1) + (n + 1)/2^(n + 1)

Das sind hinter der 2 zwei Brüche mit dem gleichen Nenner. Der Zähler ist -(2n+4)+(n+1)=-2n-4+n+1= -n-3=-(n+3). Also insgesamt mit der 2 davor:

2- (n+3)/2^(n+1)