Wie groß ist die auszurechnende Fläche A?

Question

Aufgabe:

Gesucht ist der Inhalt derjenigen Fläche A, die von den Graphen der Funktionen f und g sowie der y-Achse begrenzt wird. Fertigen Sie zunächst eine Grobskizze an.

$$f(x)=\frac{1}{4}(e^{x}-1) ; g(x)=2-e^{x}$$

Wie groß ist die auszurechnende Fläche A?

Answer 1

Schnittpunkt bei x=ln 1,8.

f(x)-g(x)=1,25 e^x-2,25

Comments

Ich verstehe nicht, wie man auf x=ln 1,8 kommt. Was ist "ln"? Ich kenne das nicht. Kann man das auch etwas anders berechnen?

---

Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt du die Funktionen gleich:

$$\frac{1}{4}(e^x-1)=2-e^x\quad \text{Klammer auflösen}\\ \frac{1}{4}e^x-\frac{1}{4}=2-e^x\quad |+e^x;+\frac{1}{4}\\\frac{5}{4}e^x=\frac{5}{4}\quad |:\frac{5}{4}\\e^x=\frac{9}{5}=1,8\quad |ln\\x=0,5878$$

Schau dir die Skizze an:

Du kannst auch das Integral für f von null bis 0,5878 (orange) und das für g von 0,5878 bis 0,6931 (=Nullstelle von g) (blau) berechnen und beide addieren.

---

Hallo Silvia,

in der Aufgabe steht "Y-Achse", nicht "X-Achse".     :-)

---

Hallo Yonatan,

die Aufgabe ist nur lösbar, wenn du den Logarithmus kennst. Oder du musst den x-Wert aus der Zeichnung ablesen.

---

Ach du Himmel, das habe ich geflissenlich überlesen.

---

Himmel ist ja auch mal eine nette Anrede.      :-)

---

Grins :-)

Hier eine neue Skizze:

---

Okay, ich kann folgen. Die blaue Fläche ist die gesuchte Fläche A, aber wie berechne ich die nun. Mein Versuch sieht wie folgt aus, aber irgendwie steckt da ein Fehler drinnen, weil das Ergebnis so klein ist:

$$A1: \int_{0}^{0,2}(\frac{1}{4}(e^{x}-1))dx=0,005535068954\\ A2: \int_{0,2}^{1}(2-e^{x})dx=0,1031209297\\ A1+A2=0,1084716192$$

Die Summe ist für mein Gefühl nach etwas klein, oder? Wo ist hier der Fehler?

---

Das grün gefärbte Rechteck hat die Fläche 1 * 0.6 = 0.6

D.h. das schraffierte Gebiet hat eine Fläche von leicht mehr als 0.3.

Die obere Integrationsgrenze ist 0.6 und nicht 0.2.

Text erkannt:

1 1 1 1
0.8
1 1 1 1
0.6
1 1 1 \begin{tabular}{|c|}
\hline \\
\hline \\
\hline
\end{tabular} 1 \( f(x)=\frac{1}{4}\left(e^{x}-1\right) \) \( a \) and If 1
-0.4
\( f \)
1 1 and 1 0.2

and an A 1
\( \frac{12}{ } \) \begin{tabular}{l|lll}
\hline 0 & 0.2 & 0.4 & 0.6 & 0.8 \\
& & \( n(r)= \) & 2
\end{tabular}

---

Wenn du mit zwei Flächeninhalten arbeiten möchtest, berechnest du

\(\int_{0}^{0,5878}\frac{1}{4}(e^x-1)=0,0531\)

und

\(\int_{0}^{0,5878}2-e^x=0,3756\)

 Jetzt noch die blaue von der grünen Fläche abziehen = 0,3225

Answer 2

Hallo

 1. die 2 Funktionen gleichsetzen und den Schnittpunkt xs  bestimmen. Dann g(x)-f(x) von 0 bis xs integrieren.

Gruß lul

Comments

Sorry, das ist mir ein wenig zu hoch.

Meinst Du mit xs den Schnittpunkt der beiden Graphen? Es wäre richtig klassen, wenn Du den Rechenweg schreiben könntest.

---

Schnittpunkt:

1/4e^x-1/4=2-e^x

1,25e^x=2,25

e^x=1,8

x=ln(1,8)

jetzt  $$\int_0^{ln(1,8)} (-1,25e^x+2,25) dx$$

irgendwas musst du schon noch selbst tun

lul