Wie groß ist die grau markierte Fläche zwischen den Funktionsgraphen?

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Funktionen f und g mit f(x)=x³-4x²+5 und g(x)=x-2

Wie groß ist die grau markierte Fläche zwischen den Funktionsgraphen?

Bin nicht weiter gekommen, an der Stelle wo man zur Berechnung der Schnittpunkte eine Nullstelle erraten muss für die Polynomdivision. Wie man in der Abbildung erkennen kann, gibt es auch keine geraden Zahlen als Nullstellen. Wie kann ich dennoch die erste herausfinden? Oder ist Polynomdivision hier falsch?

Wäre nett, wenn jemand einmal die ganze Aufgabe ausrechnen könnte, damit ich das nachvollziehen kann.

Text erkannt:

Gegeben seien die Funktionen \( f \) und \( g \) mit \( f(x)=x^{3}-4 x^{2}+5 \) und \( g(x)=x-2 \).
- Wie groß ist die grau markierte Fläche zwischen den Funktionsgraphen?

Answer 1

Berechne die 3 Schnittpunkte und dann die

Integrale über f-g vom linken zum mittleren

und über g-f vom mittleren bis zum rechten.

Ich habe auch nur Näherungswerte mit dem Rechner:

-1,253   ,    1,480     3,773 .

Comments

Wie berechne ich die Schnittpunkte denn in diesem Fall? Mit geogebra oder ungefähr auch durchs schätzen anhand des Graphen kann man ja auf ungefähre Werte kommen. Aber sollte man diese nicht ausrechnen können?

---

Das kannst du händisch nicht ausrechnen, sondern musst deinen Taschenrechner damit beauftragen. Polynomdivision geht in diesem Fall nicht, denn die von mathef angegebenen Stellen kann man ja nicht erraten.

---

und wie muss ich das dann mit dem Taschenrechner machen? Einfach so einsetzen, bis man immer näher an die 0 kommt?

---

Geogebra ist vielleicht doch einfacher ;-)

Um die Schnittpunkte zu bestimmen, setzt du die Funktionen gleich

\(x^3-4x^2+5=x-2\\x^3-4x^2-x+7=0\)

Das sollte dein TR schaffen.

Answer 2

f(x) = x^3 - 4·x^2 + 5
g(x) = x - 2

d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 4·x^2 - x + 7 = 0 → x = -1.253 ∨ x = 1.480 ∨ x = 3.773

D(x) = 1/4·x^4 - 4/3·x^3 - 1/2·x^2 + 7·x

A1 = D(1.480) - D(-1.253) = 6.142 - (-6.317) = 12.459

A2 = D(3.773) - D(1.480) = -1.658 - 6.142 = -7.8

A = |A1| + |A2| = 12.459 + 7.8 = 20.26 FE

Die Fläche beträgt also etwa 20.26 FE.

In der Frage hätte meiner Meinung auch schon klar stehen sollen, dass man die Fläche ungefähr berechnen soll. Denn exakt wäre das hier nur unter größten Anstrengungen möglich.

So sieht das dann in Geogebra aus: