Zeigen Sie, dass der sphärische Abstand ...

Question

Aufgabe: Sei P ein Punkt auf der Einheitssphäre und sei Pp die zugehörige Polare. Sei Q ein
Punkt, der auf der gleichen Halbkugel (bzgl. Pp ) wie P liegt und sei Pq die zugehörige
Polare.
Zeigen Sie, dass der (sphärische) Abstand |P Q| gleich dem Winkel zwischen Pp und
Pq ist.

Ich habe mir bereits aus dem Skript gesucht wie das genau funktioniert und bereits eine Skizze gemacht. Mein Problem ist grade das ich nicht genau verstehe wie ich das beweisen soll.

Bitte nur konstruktive Ansätze die Lösung alleine bringt nichts.

Comments

Was genau soll hier mit dem Begriff "Polare" eines Punktes P (in Bezug auf eine Sphäre S im ℝ³) gemeint sein?

In der ebenen Geometrie wäre die Polare eines auf der Kreislinie k liegenden Punktes P die Tangente an k in P.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Kugeldreieck

https://de.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%A4rische_Geometrie

Am besten gibst du genauer an, was du im Skript gefunden hast.

http://www.rainerstumpe.de/HTML/sphaer_dreieck.html

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass der (sphärische) Abstand |PQˆ| gleich dem Winkel zwischen PP und PQ ist.

Stichworte: geometrie

Sei \( P \) ein Punkt auf der Einheitssphäre und sei \( \mathcal{P}_{P} \) die zugehörige Polare. Sei \( Q \) ein Punkt, der auf der gleichen Halbkugel (bzgl. \( \mathcal{P}_{P} \) ) wie \( P \) liegt und sei \( \mathcal{P}_{Q} \) die zugehörige Polare.

Zeigen Sie, dass der (sphärische) Abstand \( |\widehat{P Q}| \) gleich dem Winkel zwischen \( \mathcal{P}_{P} \) und \( \mathcal{P}_{Q} \) ist.

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Moin Werner, wo ist das Duplikat denn? Ich bräuchte es mal. gruß

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https://www.mathelounge.de/734479

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Vielen dank mein freund

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Nichts zu danken, werter Zeitgenosse.

Answer 1

Hallo,

Ich habe mir bereits aus dem Skript gesucht wie das genau funktioniert und bereits eine Skizze gemacht.

Deine Skizze sollte ungefähr so aussehen:

es beschreibt die Ebene, in denen die Punkte \(P\) und \(Q\) und der Mittelpunkt \(O\) der Einheitssphäre liegen.

Nun musst Du nur beweisen, dass die blauen Winkel gleich groß sind. Kannst Du das?

Comments

Ich bin mir nicht ganz sicher. Kann ich das den mit dem Beweis eines Winkelsatzes machen?

Mir schließt sich nicht ganz mit welchen Eigenschaften einer Kugel ich zu arbeiten habe, um auf den Winkel zwischen den Ebenen zu schließen. Ich weiß, dass Winkel bei O dem sphärischen Abstand zwischen P und Q entspricht und mit dem jeweiligen Radius r skaliert wurde. aber wie das mit dem Winkel S zusammenhängt verstehe ich nicht.

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... aber wie das mit dem Winkel S zusammenhängt verstehe ich nicht.

Die Winkelsumme im Viereck ist wie groß? Wie groß ist die Summe der Winkel bei \(P\) und \(Q\)? was bleibt dann noch für den Winkel \(\angle PSQ\) (nicht markiert)?

Wie groß ist die Summe zweier Nebenwinkel?

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im Viereck beträgt die Winkelsumme 360 grad. P und Q sollten

jeweils 90 grad betragen wenn ich mich nicht irre.

Die summe zweier Nebenwinkel beträgt 180 grad.

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ich glaube ich hab es doch verstanden jetzt ich habe erst jetzt das Viereck gesehen und verstanden wieso du die Winkelsumme im Viereck angesprochen hast.

Ich verstehe nur noch nicht was es mit PSQ auf sich hat.

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p und q betragen beide 90 grad und da bleiben nur noch 180 grad übrig und S und der Winkel O sollen gleich sein also 90 grad.

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... und S und der Winkel O sollen gleich sein also 90 grad.

Na ja - Du brauchst die Zeichnung doch nur anzuschauen. Die beiden Winkel im Viereck \(POQS\) bei den Ecken \(S\) und \(O\) sind sicher nicht gleich. Der blaue Winkel bei \(O\) ist ein spitzer (d.h. \(\lt 90°\)) und der Winkel \(\angle PSO\) ist ein stumpfer (d.h. \(\gt 90°\)). Aber ihre Summe ist \(180°\), da die Summe der hellbraun markierten Winkel ebenfalls \(180°\) ist.

Ich nenne den blauen Winkel bei \(O\) mal \(\alpha\) und den blauen bei \(S\) \(\beta\). Letzterer ist der Winkel zwischen den beiden Tangentialebene (Polaren). Aus oben gesagten folgt$$\angle PSO + \alpha = 180° \quad \implies \angle PSO = 180° - \alpha$$und \(\angle PSO\) und \(\beta\) sind Nebenwinkel. Also gilt auch$$\angle PSO + \beta = 180° \quad \implies \beta = 180° - \angle PSO$$Nun setze für \(\angle PSO\) das obige ein:$$\begin{aligned}  \beta &= 180° - \angle PSO \\&= 180° - (180° - \alpha) \\&= 180° - 180° + \alpha \\&= \alpha\end{aligned}$$

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oh mann ich war ja auf dem Komplett falschen Weg.... Aber vielen dank für die ausführliche Lösung.

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 Seien nun \( a \) und \( b \) Grofskreise in der Einheitssphäre mit Polen \( \mathcal{P}_{a} \) und \( \mathcal{P}_{b}, \) wobei die beiden Pole in der gleichen Halbkugel (bzgl. \( a \) ) gewählt seien.

Folgern Sie, dass der Winkel zwischen \( a \) und \( b \) gleich dem (sphärischen) Abstand \( \left|\mathcal{P}_{a} \mathcal{P}_{b}\right| \) ist.

Kann mir jemand bei dem hier helfen ;) Das gehört auch zu dieser Aufgabe :)

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Seien nun \(a\) und \(b\) Großkreise in der Einheitssphäre mit Polen \(P_a\) und \(P_b\) ...

Wie ist denn der Pol eines Großkreises in der Einheitssphäre definiert? Stell doch dazu eine eigene Frage ...