Hallo
1.) bringe die Ebenengleichung in die Normalform. Allgemein gilt $$\vec{n} \cdot \vec{x}=d$$ und hier ist
$$ \left( \begin{aligned} 0 \\ 4 \\ 3 \end{aligned} \right)\cdot \vec{x}=33 $$ der Punkt K muss diese Gleichung erfüllen, da er in dieser Ebene liegt. Von S aus gesehen liegt K in Richtung des Normalenvektors der Ebene. Das heißt, es gilt
$$ K=S-t\cdot \vec{n} $$ Einsetzen in die Normalenform ergibt $$ \vec{n} \cdot \left( S-t\cdot \vec{n} \right) = \vec{n} \cdot S - t \cdot \vec{n}^2=d$$
$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6,5\\3\\ 9 \end{pmatrix} - t \cdot 25=33$$ $$ 39-t \cdot 25=33;\quad t=\frac{6}{25} $$ Einsetzen in die Gleichung für K ergibt
$$K= \begin{pmatrix} 6,5\\3\\ 9 \end{pmatrix} -\frac{6}{25}\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6,5 \\ 2,04 \\ 8,28 \end{pmatrix}$$
Um festzustellen, on K innerhalb des Rechtecks liegt, betrachtet man den Punkt K als eine Linearkombination der Seiten des Rechtecks. Es sei $$K=E+r\cdot \vec{EF} + s \cdot \vec{EH}$$Liegen r und s jeweils im Intervall [0;1], so liegt K innerhalb dieses Rechtecks.
Ich erhalte für r=0,416 und für s=0,736. Also liegt K im Rechteck.
2.) Hier muss man zeigen, dass der Vektor durch BD parallel zum Richtungsvektor des Kugelmittelpunktes verläuft. $$\vec{BD}=D-B=\begin{pmatrix} 7,5 \\ -6\\ 0 \end{pmatrix}$$ Weiter gilt $$ \vec{m}=\begin{pmatrix}x_1 \\ 8-0,8x_1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ -0,8 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot x_1\\= \begin{pmatrix}0 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{2}{15}\begin{pmatrix}7,5 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot x_1$$ wie man sieht, verlaufen die Richtungen parallel.
3.) ich weiß hier nicht, ob mit dem Punkt F aus der Kante FB der Punkt aus Aufgabe 1 gemeint ist. Allgemein kann man aber so vorgehen, dass man den Ort des Mittelpunktes \( \vec{m} \) der Kugel betrachtet, bei dem die Kugel die Kante FB berührt. Der Berührpunkt sei \( \vec{q} \). Dann steht der Vektor \( \vec{q}- \vec{m}\) senkrecht auf der Kante FB. D.h. das Skalarprodukt mit \( \vec{FB} \) ist =0. Es gilt $$\vec{q}(t) = F + t \cdot \vec{FB}$$ und $$\vec{m}(x_1)=\vec{a} + x_1 \cdot \vec{b}; \quad \text{s. oben}$$ Das Skalarprodukt ist dann $$( \vec{q}(t)- \vec{m}(x_1)) \cdot \vec{FB}=0$$Damit erhält man eine lineare Gleichung für t und x1.
Die zweite Gleichung erhält man aus dem Umstand, dass der Abstand vom Mittelpunkt \( \vec{m} \) zur Kante FB bzw. zu \( \vec{q} \) gleich dem Radius der Kugel sein muss. Also $$( \vec{q}(t)- \vec{m}(x_1))^2=R^2=1$$ Daraus lässt sich x1 bestimmen und daraus wiederum die Position des Mittelpunktes \( \vec{m}(x_1)\).
Gruß Werner
