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Aufgabe:

Bestimmen Sie den Punkt des Graphen der Funktion f(x) = 2x, der von der geraden g mit der gleichung g: y= x den kleinsten Abstand hat.


Problem/Ansatz:

Ich habe lange studiert und dann in den Lösungen nachgeschaut:

Es steht Punkt auf f(x) zu g: B( xb/2xb)   Ich verstehe nicht ganz genau, was man hier macht...

Dann hat man eine verschobene Gerade: h(x) = -x + q

und setzt B in h ein -> -x +xb + 2xb

Man könnte ja jetzt denn Schnittpunkt von h und g berechnen (Laut den Lösungen: x = xb + 2xb/2) Ich bekomme aber nicht das Gleiche...

und dann könnte man einfach x in eine der Funktionen einsetzen und würde y bekommen... Verstehe aber nur Bahnhof...

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verlesen. LG!! [Fülltext]

Deine Lösung war aber richtig..

Doch nicht verlesen!

Wo steht im Aufgabentext, dass dieser Abstand gemeint ist?

Das hat mich auch verwirrt!

1 Antwort

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bilde die Differenzfunktion d(x)=f(x)g(x)d(x)=f(x)-g(x):

d(x)=2xxd(x)=2^x-x

d(x)=ln(2)2x1=0d'(x)=\ln(2)\cdot 2^x-1=0

ln(2)2x1=0\ln(2)\cdot 2^x-1=0

ln(2)2x=1\ln(2)\cdot 2^x=1


2x=1ln(2)2^x=\frac{1}{\ln(2)}
x=log2(1ln(2))x=\log_{2}{\left(\frac{1}{\ln(2)}\right)}

x10.529\Longrightarrow x_1\approx 0.529

d(0.529)=0.693>0Min.d''(0.529)\approx = 0.693>0 \quad \Longrightarrow \text{Min.}

Avatar von 28 k

Ich verstehe nur nicht, wie du mit dem Log gearbeitet hast...

Wie kürzt sich das x raus, weil wenn man ln(2x) macht, kann man doch nicht kürzen

Wie meinst Du das?

ln(2)2x1=0\ln(2)\cdot 2^x-1=0

ln(2)2x=1\ln(2)\cdot 2^x=1

2x=1ln(2)2^x=\frac{1}{\ln(2)}

x=log2(1ln(2))x=\log_{2}{\left(\frac{1}{\ln(2)}\right)}

Wie kommst du von d(x)=2x−x


zu : d′(x)=ln(2)⋅2x−1=0

Das ist eine allgemeine Regel: (cx)=ln(c)+cx(c^x)'=ln(c)+c^x

Das gilt auch bei exe^x nur, dass ln(e)=1\ln(e)=1

und die -1 kürzt sich aus dem x ?


Sorry, dass ich so viel frage.

Genau. (x)=1(x)'=1 und die werden ja separat abgeleitet...

und d′′ ist einfach x in die FUnktion eingefügt?

d(x)=(ln(2))22xd''(x)=(\ln(2))^2\cdot 2^x

und dann x1x_1 einsetzen.

Woher kommt jetzt das Quadrat?

... Bin baff

Wegen der Ableitungsregel von oben!

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