Extremwertaufgabe: Punkt auf g der kürzesten Abstand zum Ursprung hat gesucht

Question

Wie berechnet man so etwas? Hab die Gerade mit dem GTR zeichnen lassen und dann y=2x als Senkrechte auch einzeichnen lassen. Als Koordinate habe ich dann den Schnittpunkt der Senkrecht mit der Geraden. Meine Lehrerin meinte, dass wäre aber nicht der der den kürzesten Abstand zum Ursprung hat.. Wie muss ich dass denn berechnen?

Hier nochmal die Aufgabenstellung:

Comments

Hi, ich habe \((2|1)\) als ursprungsnächsten Punkt auf g heraus. Was hast du?

Answer 1

Die Senkrechte zu einer Geraden hat m₂=-1/m₁

Also hat deine Senkrechte die Steigung 0,5

y=0.5x

Answer 2

y = 5 - 2·x

d^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2

d^2 = (x - 0)^2 + (5 - 2·x - 0)^2

d^2 = x^2 + 4·x^2 - 20·x + 25

d^2 = 5·x^2 - 20·x + 25

d^2 ' = 10·x - 20 = 0 --> x = 2

y = 5 - 2·2 = 1

Der Punkt (2 | 1) hat den kleinsten Abstand.

Comments

Alles Rechenschritte sind sehr gut nachvollziehbar! :-) Aber wie kommst du auf die Zielfunktion? Also muss ich immer die Formel (x-0)+(y-0) verwenden wenn ich generell den kleinsten Abstand bestimmen möchte oder nur in diesem Beispiel? Ich verstehe nämlich nicht warum man mit der Gleichung den kleinsten Abstand finden kann.

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Nimm an du hast die Punkte P(Px | Py) und Q(Qx | Qy)

Dann ist der Abstand ins Quadrat nach Pythagoras

d^2 = (Px - Qx)^2 + (Py - Qy)^2

Nun Kenne ich Zwei Punkte

P(x | f(x)) und Q(0 | 0)

Damit kann ich also die Funktion des Abstandes zum Quadrat aufstellen.

Der Rest sollte klar sein. Wenn man ein Extrema sucht dann bildet man die Ableitung und setzt diese gleich Null.

Answer 3

Dein Fehler besteht darin, dass du die Orthogonale zu \(y=5-2\cdot x\) durch den Ursprung falsch bestimmt hast. Richtig wäre \(y=0.5\cdot x\) gewesen. Der Punkt mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung ist dann der Schnittpunkt dieser beiden Geraden.

(Das steht aber auch schon in der Antwort von Nanobudist. Vermutlich nicht intendierte Lösungsumwege über die Differentialrechnung sind weder notwendig noch vereinfachen sie die Rechnung.)