Kürzesten Abstand zweier Funktionen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Punkt des Graphen der Funktion f(x) = 2^x, der von der geraden g mit der gleichung g: y= x den kleinsten Abstand hat.

Problem/Ansatz:

Ich habe lange studiert und dann in den Lösungen nachgeschaut:

Es steht Punkt auf f(x) zu g: B( xb/2^xb)   Ich verstehe nicht ganz genau, was man hier macht...

Dann hat man eine verschobene Gerade: h(x) = -x + q

und setzt B in h ein -> -x +xb + 2^xb

Man könnte ja jetzt denn Schnittpunkt von h und g berechnen (Laut den Lösungen: x = xb + 2^xb/2) Ich bekomme aber nicht das Gleiche...

und dann könnte man einfach x in eine der Funktionen einsetzen und würde y bekommen... Verstehe aber nur Bahnhof...

Comments

verlesen. LG!! [Fülltext]

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Deine Lösung war aber richtig..

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Doch nicht verlesen!

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Wo steht im Aufgabentext, dass dieser Abstand gemeint ist?

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Das hat mich auch verwirrt!

Answer 1

bilde die Differenzfunktion \(d(x)=f(x)-g(x)\):

\(d(x)=2^x-x\)

\(d'(x)=\ln(2)\cdot 2^x-1=0\)

\(\ln(2)\cdot 2^x-1=0\)

\(\ln(2)\cdot 2^x=1\)

\(2^x=\frac{1}{\ln(2)}\)
\(x=\log_{2}{\left(\frac{1}{\ln(2)}\right)}\)

\(\Longrightarrow x_1\approx 0.529\)

\(d''(0.529)\approx = 0.693>0 \quad \Longrightarrow \text{Min.}\)

Comments

Ich verstehe nur nicht, wie du mit dem Log gearbeitet hast...

Wie kürzt sich das x raus, weil wenn man ln(2^x) macht, kann man doch nicht kürzen

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Wie meinst Du das?

\(\ln(2)\cdot 2^x-1=0\)

\(\ln(2)\cdot 2^x=1\)

\(2^x=\frac{1}{\ln(2)}\)

\(x=\log_{2}{\left(\frac{1}{\ln(2)}\right)}\)

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Wie kommst du von d(x)=2x−x

zu : d′(x)=ln(2)⋅2x−1=0

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Das ist eine allgemeine Regel: \((c^x)'=ln(c)+c^x\)

Das gilt auch bei \(e^x\) nur, dass \(\ln(e)=1\)

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und die -1 kürzt sich aus dem x ?

Sorry, dass ich so viel frage.

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Genau. \((x)'=1\) und die werden ja separat abgeleitet...

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und d′′ ist einfach x in die FUnktion eingefügt?

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\(d''(x)=(\ln(2))^2\cdot 2^x\)

und dann \(x_1\) einsetzen.

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Woher kommt jetzt das Quadrat?

... Bin baff

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Wegen der Ableitungsregel von oben!