Aloha :)
Der Abstand zwischen einem Punkt der Geraden und dem Punkt \(P(0|2)\) ist:
$$d=\left|\binom{2}{1}+\lambda\binom{1}{-2}-\binom{0}{2}\right|=\left|\binom{2}{-1}+\lambda\binom{1}{-2}\right|=\left|\binom{2+\lambda}{-1-2\lambda}\right|$$$$\phantom{d}=\sqrt{(2+\lambda)^2+(-1-2\lambda)^2}=\sqrt{4+4\lambda+\lambda^2+1+4\lambda+4\lambda^2}=\sqrt{5\lambda^2+8\lambda+5}$$Wir suchen nun die Stelle \(\lambda\), für die \(d\) bzw. \(d^2\) minimal wird:
$$d^2=5\lambda^2+8\lambda+5=5\left(\lambda^2+\frac{8}{5}\lambda+\left(\frac{8}{10}\right)^2-\left(\frac{8}{10}\right)^2+1\right)$$$$\phantom{d^2}=5\left(\left(\lambda+\frac{8}{10}\right)^2-\frac{64}{100}+1\right)=5\left(\left(\lambda+\frac{4}{5}\right)^2+\frac{36}{100}\right)$$$$\phantom{d^2}=5\left(\lambda+\frac{4}{5}\right)^2+\frac{9}{5}$$Für \(\lambda=-\frac{4}{5}\) wird also der minimale Abstand \(d=\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3}{5}\sqrt5\) erreicht. Der gesuchte Punkt \(\vec v\) auf der Geraden ist:$$v=\binom{2}{1}-\frac{4}{5}\binom{1}{-2}=\frac{1}{5}\binom{10}{5}-\frac{1}{5}\binom{4}{-8}=\frac{1}{5}\binom{6}{13}$$Der Vektor \(\vec v\) aus der Musterlösung stimmt, aber der Abstand ist \(d\) ist falsch.
