Definitheit und geometrische Form

Question

Es sei die Matrix A = \( \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix} \)  und weiterhin die Menge G = v ∈ ℝ² Ι v^TAv = 1 gegeben.

(Das v in der Aufgabe hat oben drauf noch ein Pfeil)

Bestimmen sie die Definitheit von A. Was für eine geometrische Form hat G ?

Comments

ich habe jetzt den Wert 0,75 für A raus, ist das jetzt positiv definit oder negativ ? positiv oder, da der Wert ja größer als 0 ist. Somit ist die matrix A positiv definit, wäre das richtig so ?

Hat jemand eventuell eine Ahnung, wie die geometrische Form bei G aussieht ?

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Die Matrix \(A\) ist reell und symmetrisch. Alle Eigenwerte von \(A\) sind positiv, daher ist die Matrix positiv definit. (Alternativ: Alle führenden Hauptminoren sind positiv.) Setze \(v=(x{,}y)^\top\in\mathbb R^2\). Die Gleichung \(v^\top Av=1\) bedeutet dann \(x^2+xy+y^2=1\) und beschreibt eine Ellipse.