Beweis Limes nach unendlich zu Reihe

Question

Aufgabe:

Ich soll Folgendes beweisen:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1^{k}}{k !} \)

Problem/Ansatz:

Habe hier leider noch keinen Ansatz gefunden.

Comments

Tipp:$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk\frac1{n^k}$$ und dann bisschen abschätzen. Zeige einfach \(\leq\) und \(\geq\), dann folgt \(=\) mal ganz lax gesagt.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl

Answer 1

Einfach mal ein Link:

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~wegert/Lehre/AnaMath1/Vrl-2013-11-15.pdf

Answer 2

Aloha :)

Für \(x\approx 0\) kann die \(e^x\)-Funktion durch ihre Tangente im Punkt \(x=0\) angenähert werden, das heißt:$$e^x\approx1+x\quad;\quad x\approx0$$Die Näherung wird umso exakter, je näher \(x\) bei \(0\) liegt. Im Grenzüberang \(x\to0\) ist die Näherung perfekt:$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1^k}{k!}=e^1=e^{n/n}=\left(e^{1/n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{1/n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$