Ein Gefäß mit heißem Wasser wird bei einer Umgebungstemperatur von 0 °C zum Zeitpunkt t0 = 0 ins Freie gestellt.

Question

Aufgabe:

Könnte wer die Aufgabe für mich kontrollieren, ich bin mir da nicht sicher ^^

1. Ein Gefäß mit heißem Wasser wird bei einer Umgebungstemperatur von 0 °C zum Zeitpunkt t0 = 0 ins Freie gestellt. Die Temperatur T(t) (in °C) des Wassers ist abhängig von der Zeit t (in Minuten) und kann durch eine Funktion T mit T(t) = 90 · ℯ–0,2 · t beschrieben werden.

a) Gib an, welche Bedeutung der Wert ℯ–0,2 in dieser Gleichung besitzt.

e ist die Euler’sche Zahl und in Abhängigkeit von k also -0.2 d.h sie gibt den Zerfallsprozess bzw. den „Abkühlungsprozess“ an (k<0) ??

Answer 1

Hallo

 eigentlich hat die Zahl-0,2 eine Dimension 1/s oder 1/Min. (weil es e^Sekunden nicht gibt)

 e^-0,2=0,818..  ist der Faktor, mit dem sich das Zeug in einer Zeiteinheit abkühlt, (bzw. pro Zeiteinheit )

was du schreibst ist nicht falsch aber beschreibt nur die Funktion.

Gruß lul

Answer 2

Exponentialfunktion f(x)=a^(x)

Kommt in der Form N(t)=No*a^(t) vor

a>1 exponentielle Zunahme

0<a<1 exponentielle Abnahme

No=Anfangswert zum Zeitpunkt t=0  N(0)=No*a⁰=No*1=No

oder als e=2,71828....

N(t)=No*e^(c*t)

c>0 exponentielle Zunahme

c<0 exponentielle Abnahme

bei´m radioaktiven Zerfall  N(t)=No*e^(-b*t)

No=zerfallsfähige Atomkerne zum Zeitpunkt t=0

b=Zerfallskonstante,abhängig vom Meterial

also T(t)=90°*e^(-0,2*t)

c=-0,2<0 also exponentielle Abnahme

0,2 gibt an,wie steil der Graph abfällt

0,2 flacher Abfall  und 0,5 großer Abfall (negative Steigung)

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Text erkannt:

Exponentialfunktion Siehe Mathe-Porae1buch,vas man privat in jedem Buch1aden bekomme. Pormel i \( y=f(x)=a^{x} \) wit a \( \varepsilon P \) und \( a>0 \) und a uncleich \( 1 \times \xi \)
$$ f(x+1)=f(x) * a $$
Mit \( e^{x * 1 n(a)}=a^{x} \) kann \( y=f(x)=a^{x} \) durch Streckung/Stauchung mit \( 1 n(a \) aus der e-Funktion gewonnen verden.

Durchlauft \( \ln f(x)=c^{*} a^{x}(c \neq 0 \text { und } a>0 \text { und } a \neq 1) \) das Argument \( x \) eine "arithoetische Folge", so durchlauft der Funktionswert f(x) efne "geometrische Folge". Die "Exponentialfunktion" kommt in folgender Porm vor:
1) \( \mathrm{N}(\mathrm{t})=\mathrm{N}_{0} *_{\mathrm{a}}^{\mathrm{t}} \quad \) No-Anfangswertrzum Zeltpunkt \( \mathrm{t}=0 \quad \mathrm{N}(0)=\mathrm{N}_{0} *_{\mathrm{a}}^{0}=\mathrm{N}_{0} * 1 \)
\( 0<a<1 \) exponentielle Abnanme
2) \( \mathrm{N}(\mathrm{t})=\mathrm{N}_{0} * \mathrm{e}^{-\mathrm{b}^{*} \mathrm{t}} \) pormel fur den radioaktiven Zerfall
No-zerfallsfähige Atonkerne zum Zeitpunkt t=0 (Anfangswert) b-Zer fallskonstante,abhAng18 vom Material
T-Halbwertszeit, hier sind von No die Häffe aller zerfallsfähigen At omkerne zerfallen.
$$ \mathrm{N}(\mathrm{T})=\mathrm{No} / 2 $$
daraus errechnet sich die "Zerfallskonstante" \( \mathrm{N}(\mathrm{T})=\mathrm{No} / 2=\mathrm{No} * \mathrm{e}^{-\mathrm{b} * \mathrm{T}} \)
\( 1 / 2 \) -e \( ^{-b * T} \) logarithmiert ergibt \( \ln (0,5)=-b^{*} \) T ergibt \( b=1 \) n \( (0,5) /-7 \) Beispiel:"exponent telle Zunahme", Zinsrechnung

Eln Kapital von Xo wird im Jahr mit einen Zinssatz von p verzinst. nach
1 Jahr \( K(1)=\mathbb{K}_{0}+\mathbb{R}_{0} / 100 \mathbb{Z}^{*} p=\mathbb{R}_{0}^{*}(1+p / 100 \mathbb{R}) \)
\( a=(1+p / 100 z) \) ersibt die Pormel
\( K(t)=\mathbb{R}_{0} *(1+p / 100 \mathbb{X}) \)
Beispiel:"exponetielle Abnahme" Die jahrliche Inflation beträgt p (in Prozent) und das
年 Anfangskapital Xo nach 1 Jahr \( X(1)=\mathbb{R}_{0}-\mathbb{R}_{0} / 100 \mathbf{X}^{*} p=\mathbb{R}_{0} *(1-p / 100 \mathbb{Z}) \)
\( a=(1-p / 100 z) \)
\( x(t)=x_{0} *(1-p / 100 x) \)

 ~plot~90*e^(-0,2*x);90*e^(-0,5*x);[[-1|10|0|100]]~plot~

Answer 3

a) Gib an, welche Bedeutung der Wert ℯ–0,2 in dieser Gleichung besitzt.

e^(-0.2) = 0.8187 = 1 - 0.1813

Der Wert bedeutet, dass die Temperatur pro Minute um ca. 18.13% abnimmt.