Bestimmen Sie alle lokalen Extrema.

Question

Hallo.

tatsächlich weiß ich, wie die Extrema-Stellen bestimmt werden sollen, jedoch ich habe die Hinweise nicht verstanden.

Daher würde ich mich freuen, wenn mir jemand genauer erklären könnte, was mit diesen Hinweisen gemeint ist, damit ich die Aufgabe richtig lösen kann.

.....

Es sei y : (0, √2) → ℝ,  x ↦ y(x), eine differenzierbare Funktion, die der Gleichung F(x,y(x)) = 0 für 

                                          F(x,y)=(x² + y²)² − 2(x² − y²)
genügt. Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion y, und entscheiden Sie, in
welchen Fällen es sich um ein Maximum beziehungsweise ein Minimum handelt.

 Hinweise : 

-Es gibt genau zwei solche Funktionen.

-Aus der Gleichung F (x, y(x)) = 0 berechne man zunächst mit Hilfe der Kettenregel
 die Ableitung y′(x), ohne explizit nach y aufzulösen! 

Answer 1

Daher würde ich mich freuen, wenn mir jemand genauer erklären könnte, was mit diesen Hinweisen gemeint ist, damit ich die Aufgabe richtig lösen kann.

Aus der Gleichung F (x, y(x)) = 0 berechne man zunächst mit Hilfe der Kettenregel die Ableitung y′(x), ohne explizit nach y aufzulösen!

Du sollst die Implizite Ableitung bilden. Wie das Funktioniert steht in deinem Skript oder auch bei Wikipedia.

Comments

Erstmal Danke für die Antwort.

ich habe gerade die implizite Ableitung gebildet, habe aber keine Ahnung, was ich damit machen soll. Wäre sehr nett von dir, wenn du mir die Lösungsschritte geben würdest.

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Wie immer setzt du die Ableitung gleich 0 um mögliche Extrema zu finden.

f(x, y) = (x^2 + y^2)^2 - 2·(x^2 - y^2) = 0

f'(x) = - x·(x^2 + y^2 - 1)/(y·(x^2 + y^2 + 1)) → x = 0 oder x^2 = 1 - y^2

Damit gehst du jetzt in die Funktion

(0 + y^2)^2 - 2·(0 - y^2) = 0 --> y = 0

((1 - y^2) + y^2)^2 - 2·((1 - y^2) - y^2) = 0 --> y = ± 0.5

x^2 = 1 - 0.5^2 -->  x = ± √3/2

Maxima haben vermutlich die höchste, Minima die niedrigste y-Koordinate.

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Dankeschön. ich verstehe jetzt langsam besser.

ok. das heißt, ich werde jetzt keine Hesse-Matrix bilden sollen. um zu wissen, wo der Maximum bzw. der Minimum ist.

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x=-sqrt(3)/2 entfällt wegen des Definitionsbereichs.

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Ich danke dir mehrmals für deine Hilfe. war super.

Answer 2

Hallo,

aus \(F(x,y(x))=0\) für alle \(x\in (0,\sqrt{2})\) gilt, wenn man mit der Kettenregel nach \(x\) differenziert:$$\left \langle J_F(x,y(x))\cdot (1,y'(x)\right \rangle=0 \Rightarrow y'(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}\overset{!}=0 \\ \implies F_x(x,y)=0$$ Ob es sich um ein Maximum bzw. Minimum handelt, überprüfst du mit \(-\frac{F_{xx}(x,y)}{F_y(x,y)}\).

Comments

Danke für den Hinweis.

also ich habe gerade folgendes gemacht..

1- F_x(x, y) und F_y(x.y) bestimmt.

2- bei   − \( \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} \)  den Punkt (0, \( \sqrt{2} \) )  eingesetzt. was 0 ergab.

3- noch mach nach x abgeleitet. und in − \( \frac{F_xx(x,y)}{F_y(x,y)} \) eingestzt.

soll ich jetzt den Punkt (0, \( \sqrt{2} \) ) in dem Ergebnis einsetzen, um zu wissen, ob es sich in diesem Punkt um Max. oder Min. handelt. ?

ist das richtig so?

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(0,sqrt(2)) liegt nicht im Definitionsbereich der Funktion und somit auch kein Anwärter eines lokalen Maximums.

Der Quotient wird null, wenn der Zähler null wird.

Also einfach 4x(x^2+y^2-1)=0 (Ableitung nach x gleich 0)

dann folgt x=0 [fällt weg, wegen Defbereich] oder x=sqrt(1-y^2) [negative Wurzel fällt weg wegen Defbereich]. Dann ist:$$F(x,y)=F(\sqrt{1-y^2},y)=(1-y^2+y^2)^2-2(1-y^2-y^2)=-4y^2-1=0 \Leftrightarrow y= \pm 0.5$$

und damit x=sqrt(3)/2

Du hast also (sqrt(3)/2,-0.5) und (sqrt(3)/2,0.5) zu überprüfen.

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um zu überprüfen, muss ich dann die beiden Punkte in der Hesse-Matrix einsetzen. richtig??

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Nein, in \(-\frac{F_{xx}(x,y)}{F_y(x,y)}\).

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Ah Oke. Vielen lieben Dank,  das hat mir sehr geholfen.

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Bilde von \(y'(x)\) mal die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel. Ein großer Teil im Zähler fällt weg.

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Danke für den Hinweis.