DGL 1.Ordung Trennen der Variablen y-2xy=e^x^2*sinx

Question

Aufgabe:

Gegeben Sei folgende Aufgabe:  $$ y'-2xy=e^{x^{2}}\cdot sinx $$

Problem/Ansatz:

Ich kriege es nicht hin, die Variablen zu treffen, also nach y aufzulösen.

Braucht man dafür was spezielles, vielleicht Substitution?

Comments

Kennt jemand zufällig dazu einen Online Rechner? Wie z.B. Ableitungsrechner.de oder Wolframalpha?

Answer 1

Aloha :)

In dem Term auf der rechten Seite kommt kein \(y\) oder eine Ableitung von \(y\) vor, daher handelt es sich hier um eine inhomogene DGL. Löse zunächst die homogene DGL:

$$\left.y'_0-2xy_0=0\quad\right|\;:y_0$$$$\left.\frac{y'_0}{y_0}-2x=0\quad\right|\;+2x$$$$\left.\frac{y'_0}{y_0}=2x\quad\right|\;\text{integrieren}$$$$\left.\ln y_0=x^2+c_1\quad\right|\;e^{\cdots}$$$$\left.y_0=e^{x^2}\cdot e^{c_1}=c_2\,e^{x^2}\quad\right.$$Jetzt variierst du die Konstante$$y=c_2(x)\,e^{x^2}$$und setzt alles in die inhomogene DGL ein:

$$\left(c_2(x)e^{x^2}\right)'-2xc_2(x)e^{x^2}=e^{x^2}\sin x$$$$c'_2(x)e^{x^2}+c_2(x)e^{x^2}2x-2xc_2(x)e^{x^2}=e^{x^2}\sin x$$$$c'_2(x)e^{x^2}=e^{x^2}\sin x$$$$c'_2(x)=\sin x$$$$c_2(x)=-\cos x+c$$Damit ist die Lösung:$$y(x)=(c-\cos x)\,e^{x^2}$$

Answer 2

Hallo,

diese DGL löst Du via Variation der Konstanten.

zuerst  Lösung d. homogenen DGL:

y'-2xy=0 ->Trennung der Variablen

dy/dx= 2xy

dy/y= 2xdx

ln|y|=x^2+C

y_h=C₁ e^(x^2)

Setze C1= C(x)

y_p= C(x)*e^ x^2

y_p'= C'(x) *e^ x^2+C(x) 2x e^ x^2

->yp und yp' eingesetzt in die Aufgabe:

C'(x) *e^ x^2+C(x) 2x e^ x^2 -2xC(x)*e^ x^2= e^ x^2 sin(x) ------>C(x) MUß sich kürzen lassen, sonst ist die Rechnung falsch.

C'(x) *e^ x^2 = e^ x^2 sin(x) |:e^ x^2

C'(x)=  sin(x)

C(x)= -cos(x)

------->

y_p=C(x)*e^ x^2 = -cos(x) *e^ x^2

y=y_h+y_p

y= y_h=C₁ e^(x^2) -cos(x) *e^ x^2

y=e^(x^2) (C₁ -cos(x))

Answer 3

Hallo

das kann man nicht durch Trennung der Variablen lösen, es ist eine inhomogene lineare Dgl. du löst die homogene durch Trennung der Variablen, dann Variation der Konstanten, also C=C(x) und dann y  und y' in die Dgl einsetzen und C(x) bestimmen.

oder du rätst eine partikuläre Lösung yp=(Asin(x)+Bcos(x))*ex^2 einsetzen und A,B aus Koeffizientenvergleich bestimmen, yp zu der homogenen Lösung addieren.

Gruß lul

Comments

Blöde Frage, aber wie erkenn ich das vorab, ob man das zunächst mit Variation der Konstanten lösen muss?

Sie sagten, es ist eine inhomogene lineare DGL.

Answer 4

einfach aus dem Mathe-Formelbuch abschreiben,was du privat in jedem Buchladen bekommst

Kapitel,Differentialgleichungen

Inhomogene lineare Dgl 1.Ordnung

y´+P(x)*y=Q(x)

Lösungsformel: y=f(x)=1/u(x)*∫u(x)*Q(x)*dx mit u(x)=e^(∫P(x)*dx) integrierender Faktor

P(x)=-2*x

Q(x)=e^(x²)*sin(x)

∫-2*x*dx=-1*x²  → u(x)=-1*x²

y=f(x)=-1/x²*∫(-1)*x²*e^(x²)*sin(x)*dx

Wie man das Integral löst,keine Ahnung

2) Möglichkeit über die Variation der Konstanten

y´+P(x)*y=0

Lösung: y=f(x)=C*e^(-1*∫P(x)*dx)

man tut nun so,als wenn die Konstante C eine Funktion der unabhängigen Variablen x ist

y=f(x)=C(x)*e^(-1*∫P(x)*dx)

nun ableiten y´=f´(x)=...und in die Dgl einsetzen

Dann C´(x)  und/oder C(x) bestimmen

Comments

Hallo fjf

dein ewiges zitieren eines Formelbuchs ist etwas nervig.

wahrscheinlich kann man ner Taube oder nem Huhn nach einiger Zeit beibringen, Formeln aus ner Tabelle rauszurpicken. Mathe können sie dann immer noch nicht,

lul