Vollständige Induktion, mit k+k! =(n+1)! -1

Question

Aufgabe \( 14: 1 \cdot 1 !+2 \cdot 2 !+3 \cdot 3 !+\ldots+n \cdot n !=\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot k !=(n+1) !-1 \)
\( (\text { mit } n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n) \quad(\text { für alle } n \geq 1) \)

 Hallo hier habe ich wieder eine Induktionsaufgabe.

Also wenn n =1 oder größer, weiß ich dass n! =(n+1)n! ist. Ich komm leider nicht weiter.

Answer 1

Sei \( \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot k !=(n+1) !-1 \)

Dann musst du zeigen

\( \sum \limits_{k=1}^{n+1} k \cdot k !=(n+2) !-1 \) .

Also los: \( \sum \limits_{k=1}^{n+1} k \cdot k !  \)

        \( \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot k !   + (n+1)*(n+1)! \)

       = (n+1)! - 1       + (n+1)*(n+1)!

=         (n+1)! - 1        + n*(n+1)! + 1*(n+1)!

= 2*(n+1)! + n*(n+1)!  -  1

= (2+n)*(n+1)! - 1

= (n+2)! - 1           q.e.d.

Comments

Hallo, danke erst mal.

Kannst du mir erklären, wie du von der 5. letzten zeile auf die 4 letzte zeile gekommen bist?

Also von

  = (n+1)! - 1      + (n+1)*(n+1)!

auf

=        (n+1)! - 1        + n*(n+1)! + 1*(n+1)!

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im hinteren Teil die Klammer aufgelöst:

(n+1)*(n+1)!           wie bei   ( a+ b ) * c

mit a=n und b= 1 und c= (n+1)!.

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Hallo, heute war ich in der Matheklausur, und genau die Aufgabe kam drann. Ich hatte deine Lösung genau so auf mein Zettel geschrieben, den wir in die Klausur mitnehmen durften. Ich hoffe deine Lösung ist richtig. :-)

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Kannst ja später mal mitteilen, ob es vor den Augen der

Korrigierenden Gnade gefunden hat.

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Werde ich machen. Aber deine Induktion ist richtig oder?

Also ich habe eigentlich keine Probleme mit Vollständige Induktion, nur wenn da eine Fakultät drin steckt, wird es bei mir schwierig, und die Ch bekomme es nicht hin.