Question

Bestimmen Sie die zur Ebene E parallelen Ebenen F und G im Abstand d.

E: 4x₁   -7x₂  + 4x₃ = 6     d=4
Problem/Ansatz:

Normalerweise nimmt man ja q und formt mit Hilfe der HNF entsprechend um.

Jeoch habe ich gemerkt, dass auch ein blankes Einsetzen der Ebene E in die HNF funktioniert d.h.

|(4x₁  -7x₂  + 4x₃ -6)/√4²+7²+4²  | = 4

Warum ist das so? Hat jemand eine Begründung?

Answer 1

Du nimmst ja die HNF um Abstände zu bestimmen.

d = |(X - P) * N| / |N|

Wenn du das ausmultiplizierst ergibt sich ja deine Form

d = |4·x - 7·y + 4·z - 6| / √(4^2 + 7^2 + 4^2)

So wie wir hier einen Punkt (x, y, z) einsetzen können und so den Abstand des Punktes von der Ebene bestimmen können, so können wir für den Abstand 4 einsetzen und hat damit eine Beschreibung aller Punkte die den Abstand von 4 haben

|4·x - 7·y + 4·z - 6| / √(4^2 + 7^2 + 4^2) = 4

|4·x - 7·y + 4·z - 6| / 9 = 4

|4·x - 7·y + 4·z - 6| = 36

4·x - 7·y + 4·z - 6 = ±36

4·x - 7·y + 4·z = 6 ± 36

Damit lauten die Ebenen dann

F: 4·x - 7·y + 4·z = -30
G: 4·x - 7·y + 4·z = 42