Limes ohne LHospital: \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2n)^{2n}}{(4n)!}

Question

Aufgabe:

(ohne L'Hospital)

$$ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2n)^{2n}}{(4n)!} $$

Problem/Ansatz:

Habe leider keinen Ansatz

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Ich würde da mal schauen, ob man die Formel von Stirling (Näherungsformel für Fakultäten) einsetzen kann.

Ob das für den gefragten Nachweis erlaubt ist, weiß ich natürlich nicht.

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Hey danke für deine schnelle Antwort.

Aus der Vorlesung kenne ich die Näherungsformel leider nicht, daher gehe ich davon aus, dass man diese nicht verwenden darf. Hättest du noch einen weiteren Ansatz?

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Zeige vielleicht per Induktion über \(n\), dass \(\dfrac{n^n}{(2n)!}<\left(\dfrac34\right)^{\!n}\) für alle \(n\in\mathbb N\) ist.

Answer 1

Setze \(k=2n\), dann suchst du \(\lim\limits_{k\to\infty}\frac{k^k}{(2k)!}\). Für \(k\geq 1\) ist:$$\frac{k^k}{(2k)!}=\frac{1}{k!}\underbrace{\left(\frac{k}{k+1}\cdot\frac{k}{k+2}\cdot\frac{k}{k+3} \cdot \ldots \cdot \frac{k}{2k}  \right)}_{<1}$$ Wenn also \(k\geq 1\), dann gilt \(0\lt \frac{k^k}{(2k)!}\lt \frac{1}{k!}.\) Nun kannst du das Einschließungskriterium verwenden, denn es gilt offensichtlich \(\frac{1}{k}\xrightarrow{k\to \infty} 0\) und damit \(\lim\limits_{k\to\infty}\frac{k^k}{(2k)!}=0\) und damit letztlich auch \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2n)^{2n}}{(4n)!}=0\).

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Genial!

Danke dir racine_carrée!

Answer 2

Zeige, dass \(\frac{a_{n+1}}{a_n} \) eine Nullfolge (hier einfach ausrechnen/umformen, bist du eine dir sehr bekannte Folge für e bekommst, die enthalten ist) ist. Dann kannst du daraus schließen, dass es per Definition der Konvergenz für alle \(\varepsilon> 0 \) ein \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N} \) gibt, sodass für alle \(n\geq N_{\varepsilon}\) gilt \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}-0 \right|<\varepsilon \). Insbesondere gilt das also für \(\varepsilon=1\). Nun weißt du also, dass deine Folge \(a_n=\frac{(2n)^{2n}}{(4n)!} \) streng monoton fallend ist.

Also findet man auch eine Konstante \(0<c<1\) mit \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq c<1 \). Weiter ist aufgrund deiner Folge bekannt, dass für alle \(n\in \mathbb{N}\) die Eigenschaft \(0\leq a_n\) gilt.

Zeige jetzt, dass für alle \(n\in \mathbb{N}\) mit \(n\geq N_1\) die Abschätzungskette \( 0\leq a_{n+1}\leq c^{n-N_1+1}\cdot a_{N_1}\) gilt. Das geht ganz hübsch über Induktion.

Wenn du das alles gezeigt hast, folgt wegen \(c<1\) auch sofort \(\lim\limits_{n\to \infty} c^{n-N_1+1}\cdot a_{N_1}=0 \), also auch \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n=0 \).

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Kleine Änderung: Für die Abschätzungskette meinte ich \(0\leq a_{n+1}\leq c^{n-N_{1}+1}\cdot a_{N_1}\), statt nur \(0\leq a_{n+1}\leq c^n\cdot a_{N_1}\). Sonst würde man bereits beim Induktionsanfang Schwierigkeiten bekommen. Ich habe das entsprechend oben angepasst.

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Danke für deine Hilfe und entschuldige das ich mich erst so spät zurück melde.

Das mit der Epsilon-Umgebung wäre eine Möglichkeit, allerdings handelt es sich hierbei um eine alte Klausuraufgabe. Die Klausuraufgaben werden bei uns nie mit der Epsilon-Umgebung gelöst.

Es gibt stets einen "Trick" bzw. ein gescheites Umformen mit dem die Aufgabe in wenigen Zeilen lösbar ist.

Ich hab es mal wie folgt probiert:

$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{(2n)^{(2n)}}{(4n)!} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2^{(2n)}*n^{(2n)}}{(4n)!}= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{((\sqrt[n]{2})^{2})^{n^2}*((\sqrt[n]{n})^{2})^{n^2}}{(4n)!} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1*1}{(4n)!} = \frac{1}{\infty} = 0 $$

Dabei versuche ich mit den bekannten Formeln $$ \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{c} = 1 \text{ und } \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1 \text{ sowie } \lim\limits_{n\to\infty} x^{n} = 1 \text{ für x = 1} $$ zu argumentieren.

Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich dann nicht im Zähler einen unbestimmten Ausdruck mit $$ 1^{\infty} $$ erhalte.

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Leider funktioniert dein Rechenweg nicht, da doch bereits \(((\sqrt[n]{2})^2)^{n^2}=2^{2n} \stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} \infty\) gilt. Die Strategie von racine_carrée ist aber sehr ellegant. Auf diesem Wege gelingt es die Konvergenz der Folge \( a_l:=\frac{l^l}{(2l)!}\) zu zeigen. Also konvergiert auch jede Teilfolge von \(a_l\) gegen 0, insbesondere also auch \(\frac{(2m)^{2m}}{(4m)!}=a_{2m} \).

Answer 3

n^n / (2n)! < 1 / n!  -- >  0