Verkettung zweier Funktionen und Untersuchung auf Injektivität und Surjektivität

Question

Wir sollen folgende Aufgabe lösen. Einen Teil habe ich schon geschafft. Aber dann kam ich leider nicht weiter. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte!

 

Es seien f: ℚ → ℚ mit f(x) = (x-1)²  und  g: ℚ → ℚ mit g(x) = 5x+1 Funktionen. Bilden Sie:

1. f ° g

2. f ° f

Untersuchen Sie die verketteten Funktionen auf Surjektivität und Injektivität.

 

In 1. habe ich die beiden Funktionen schon miteinander verkettet:

f ° g(x) = f(5x+1)

= ((5x+1)-1)²

= 25x²

Wie untersuche ich das jetzt aus Surjektivität und Injektivität? Irgendwie habe ich das noch nicht verstanden...

 

Und bei 2. weiß ich leider nicht, wie ich das verketten soll. Da schaffe ich es nicht, meinen Term aufzulösen. So weit bin ich gekommen:

f ° f(x) = f((x-1)²)

= ((x-1)²-1)²

=((x²-2x+1)²-2*(x²-2x+1)+1)

Und wie quadriert man jetzt den ersten Ausdruck?

Answer 1

Zu 1.

die Funktion ist weder injektiv, noch surjektiv auf \(\mathbb{Q}\), da z.B. \((f\circ g)(-1)=(f\circ g)(1)\) und nicht surjektiv, da z.B. \(25x^{2}=-1\) keine Lösung in \(\mathbb{Q}\) hat

Zu 2.

\(((x-1)^{2}-1)^{2}=(x^{2}-2x+1-1)^{2}=(x^{2}-2x)^{2}=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}\) und dazu kannst du dir jetzt die gleichen Gedanken machen, wie zu 1