Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse berechnen.

Question

Gegeben ist die quadratische Funktion y=(x+2)²-1

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse.
Die Gerade g verläuft durch den Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse und durch den Scheitel der Parabel.

Bestimme rechnerisch die Gleichung dieser Geraden.

Answer 1

f(x) = (x + 2)^2 - 1

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 3

Nullstellen f(x) = 0

(x + 2)^2 - 1 = 0

x = - 2 ± 1

x1 = -3, x2 = -1

g Verläuft durch (0, 3) und (-2, -1)

m = (-1 - 3) / (-2 - 0) = -4/(-2) = 2

g(x) = m(x - Px) + Py = 2(x - 0) + 3 = 2x + 3

Skizze

Answer 2

die x-achse wird bei y = 0 geschnitten.
also muss y = (x+2)² - 1 = 0 werden

(x+2)² - 1 = 0
(x+2)² = 1 | √
x + 2 =  ±1
x = 1 - 2 = -1 und
x = -1 - 2 = -3

die x-achse wird bei x = -1 und bei x = -3 geschnitten.

die y-achse wird bei x = 0 geschnitten.
wir setzen einfach x = 0
y = (x + 2)² - 1 | x = 0
y = (0 + 2)² - 1
y = 2² - 1
y = 3

die y achse wird bei y = 3 geschnitten.

der scheitelpunkt der parabel lässt sich ablesen:
y = (x + 2)² -1
y = (x - (-2))² - 1
y = (x - xs)² + ys
xs = -2, ys = -1

die gerade g verläuft durch die punkte (0, 3) und (-2, -1).
die steigung ist daher m = (3-(-1)/(0-(-2) = 4/2 = 2
die geradengleichung ist y = mx + b
b haben wir schon berechnet, bei b wird die y-achse von der parabel geschnitten,
also bei b = 3
damit haben wir alles notwendige, um die geradengleichung zu bestimmen
g: y = 2x + 3

Answer 3

Schnittpunkt S_y mit der y-Achse ist

S_y ( 0 | f ( 0 ) ) = ( 0 | 3 )

Schnittpunkt(e) S_xi mit der x-Achse liegen an den Stellen x_i vor, an denen gilt: f ( x_i ) = 0. Also muss man den Funktionsterm von f gleich Null setzen und nach x auflösen: 

( x + 2 ) ² - 1 = 0

<=> ( x + 2 ) ² = 1

<=> x + 2 = +/- 1

<=> x = +/- 1 - 2

=> x₁ = - 1 - 2 = - 3 oder x₂ = 1 - 2 = - 1

Also: S_x1 ( x₁ | 0 ) = ( - 3 | 0 ), S_x2 ( x₂ | 0 ) = ( - 1 | 0 )

 

Wenn eine quadratische Funktion zwei Nullstellen x₁ und x₂ hat, dann liegt die x-Koordinate x_s des Scheitelpunktes ihres Graphen wegen der Symmetrie einer Parabel genau in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen. Also:

x_s = ( x₁ + x₂ ) / 2 = ( - 3 + ( - 1 ) ) / 2 = - 2

y_s = f ( x_s ) = f ( - 2 ) = - 1

Die gesuchte Gerade soll also durch die Punkte

P ( x_p | y_p ) = ( 0 | 3 ) und Q ( x_q | y_q ) = ( - 2 | - 1 )

laufen. Also Zweipunkteform einer Geradengleichung:

y = ( ( y_q - y_p ) / ( x_q - x_p ) ) * x + ( ( x_qy_p - x_py_q ) / ( x_q - x_p ) )

Koordinaten einsetzen:

y = ( ( -1 - 3 ) / ( -2 - 0 ) ) * x + ( ( ( - 2 ) * 3 - 0 * ( - 1 ) ) / ( - 2 - 0 ) )

= ( - 4 / - 2 ) x + ( - 6 / - 2 )

= 2 x + 3

Also lautet die Gleichung der gesuchten Geraden:

g ( x ) = 2 x + 3

Hier ein Schaubild mit den Graphen von f ( x ) und g ( x ) :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2B2%29%C2%B2-1%2C2x%2B3+from+-+4+to+2

Man erkennt die Nullstellen von f ( x ) bei - 3 und - 1 sowie den Scheitelpunkt bei x = - 2 und dass die Gerade durch den Schitelpunkt und den Schnittpunkt von f ( x ) mit der y-Achse verläuft, also so wie gefordert.