Es sei \( X>0 \) eine Zufallsvariable, so dass \( X \) und \( \log (X) \) integrierbar sind. Zeigen Sie
$$ \exp (\mathbb{E}(\log X)) \leq \mathbb{E}(X) $$
Folgern Sie die Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel, d. h. für \( x_{1}, \ldots, x_{n}>0 \) gilt
$$ \left(\prod \limits_{k=1}^{n} x_{k}\right)^{1 / n} \leq \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} x_{k} $$
Wisst ihr, wie man das zeigt und diese Ungleichung daraus folgert?
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Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe). \( \quad \) (1) Wir nehmen an, dass \( \varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: t \mapsto \) \( \log \hat{\mu}(t) \) wohldefiniert, differenzierbar und strikt konvex ist. Zeigen Sie, dass \( \varphi^{\prime}: \mathbb{R} \rightarrow \varphi^{\prime}(\mathbb{R}) \) invertierbar ist; und wenn wir mit \( t: \varphi^{\prime}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} \) die Inverse
bezeichnen, dann gilt für die Cramér-Transformierte
$$ I_{\mu}(\alpha)=\log \hat{\mu}(t(\alpha))-t(\alpha) \alpha, \alpha \geq \mathbb{E}(X) $$
(2) Bestimmen und skizzieren Sie mit Hilfe des ersten Teils die Cramér-Transformierte \( I_{\mu} \) für den Fall, dass die Zufallsvariablen \( \left(X_{i}\right) \) u. i. v. Bernoulli-verteilt sind
$$ \operatorname{mit} \mathbb{P}\left(X_{i}=0\right)=\mu(\{0\})=p_{0} \in(0,1) \text { und } P\left(X_{i}=1\right)=\mu(\{1\})=p_{1}:= $$
\( 1-p_{0} . \) Interpretieren Sie das Ergebnis an Hand des Gesetztes der großen Abweichungen.
